На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

   Решение

Какое наибольшее количество множителей вида     можно вычеркнуть в левой части уравнения     так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?

   Решение

На плоскости расположено несколько непересекающихся отрезков. Всегда ли можно соединить концы некоторых из них отрезками так, чтобы получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная?

   Решение

На бесконечном листе клетчатой бумаги (размер клетки 1×1) укладываются кости домино размером 1×2 так, что они накрывают все клетки. Можно ли при этом добиться того, чтобы любая прямая, идущая по линиям сетки, разрезала лишь конечное число костей?

   Решение

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60°, H – точка пересечения высот. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что прямые AN и BM параллельны (или совпадают).

Решение

Прямая CB и проведённая окружность симметричны относительно высоты AH. Значит, и их общие точки C и N симметричны. Поэтому в треугольнике ACN два угла по 60°, то есть он равносторонний. Аналогично треугольник BCM равносторонний. Следовательно,  AN || BM  (ввиду равенства углов CAN и CMB).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования