Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Дети держат в руках флажки. Тех, у кого в обеих руках поровну флажков, в 5 раз меньше, чем тех, у кого не поровну. Когда каждый ребёнок переложил по одному флажку из одной руки в другую, тех, у кого в обеих руках поровну флажков, стало в 2 раза меньше, чем тех, у кого не поровну. Могло ли быть так, что в начале более чем у половины детей в одной руке было ровно на один флажок меньше, чем в другой?
На плоскости даны три точки A, B, C. Через точку C проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до A и B было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?
|
|
 |
Условие
Шахматная фигура может сдвигаться на 8 или 9 клеток по горизонтали или вертикали. Запрещается ходить на одну и ту же клетку дважды.
Какое наибольшее количество клеток может обойти эта фигура на доске 15×15? (Начать обход разрешается с любой клетки.)
Решение
В центральную клетку нельзя попасть ни с какой другой. В клетки центральной вертикали (горизонтали) можно попасть только с клеток этой вертикали. И наоборот, начав с такой клетки, фигура не покинет центральную вертикаль, то есть обойдёт не более 14 клеток.
Оставшиеся 225 – 29 = 196 клеток обойти можно. Заметим, что за 13 ходов по вертикали можно обойти все её клетки (кроме средней), если начать на одной из соседних со средней клеток, а закончить на другой. Чтобы обойти 196 клеток, стартуем с клетки, соседней по диагонали с центральной, обходим за 13 ходов вертикаль, делаем ход по горизонтали, обходим за 13 ходов новую вертикаль, и т. д. Нетрудно видеть, что за 13 ходов по горизонтали фигура побывает на всех вертикалях (они чередуются так же, как и клетки), кроме центральной, и каждый раз будет уходить и приходить на вертикаль через клетку, соседнюю со средней.
Ответ
196 клеток.
Замечания
4 балла
