Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством     Докажите формулу Эйлера:   e^a+ib = e^a(cos b + i sin b).

   Решение

Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты  AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ не превосходит половины периметра треугольника ABC.

   Решение

Имеются два кошелька и одна монета. Внутри первого кошелька одна монета, и внутри второго кошелька одна монета. Как такое может быть?

   Решение

Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна d , а ребра, исходящие из одной вершины относятся как m:n:p .

   Решение

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников ACO и DBO, если известно, что  ∠ACO = ∠DBO  и  BO = OC.

   Решение

На плоскости даны три окружности S₁, S₂ и S₃. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.
Точка Q называется радикальным центром окружностей S₁, S₂ и S₃.

   Решение

С помощью одного циркуля
  а) постройте точки пересечения данной окружности S и прямой, проходящей через данные точки A и B;
  б) постройте точку пересечения прямых A₁B₁ и A₂B₂, где A₁, B₁, A₂ и B₂ – данные точки.

   Решение

Решите неравенство   .

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.

   Решение

Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда p > 2R + r.

   Решение

Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

   Решение

Даны польские слова и их переводы на русский язык в измененном порядке:
  niewola, niedola, nielad, wieko, pieklo, lekarz, wieprz, strzelba, lud, krzeslo;
  ружьё, врач, ад, тяжелая участь, стул, боров, народ, рабство, крышка, беспорядок.
  Найдите перевод каждого слова.

   Решение

Решите в целых числах неравенство:  x² < 3 – 2cos πx.

   Решение

Темы:    [ Тригонометрические неравенства ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Решите в целых числах неравенство:  x² < 3 – 2cos πx.

Решение

x² < 3 – 2cos πx < 5.  Следовательно, целые решения неравенства могут содержаться только среди чисел 0, ±1, ±2. Учитывая, что в обеих частях неравенства – чётные функции, достаточно проверить числа 0, 1 и 2. При этом убеждаемся, что числа 0 и 1 являются решениями, а число 2 – не является.

Ответ

0, ±1.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования