Версия для печати
Убрать все задачи

---

Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно  p + q?

   Решение

---

Сто медвежат нашли в лесу ягоды: самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше – 2 ягоды, следующий – 4 ягоды, и так далее, самому старшему досталось 2⁹⁹ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды "по справедливости". Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса её съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наибольшее количество ягод может съесть лиса?

   Решение

---

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

Решение

  Пусть K – середина AB и  a ≥ b.  Так как  MK = ½ (a – b),  то по неравенству треугольника  CK ≤ ½ (a – b) + c < ½ (a – b) + b = ½ (a + b) = ½ AB.  Значит, точка C лежит внутри окружности, построенной на AB как на диаметре; следовательно, угол C – тупой.
  Пусть O – центр описанной окружности Ω треугольника ABC. Так как хорда AB фиксирована, то радиус будет наименьшим, когда угол AOB – наибольший. Так как  ∠C = 180° – ½ ∠AOB,  то угол C должен быть наименьшим.
  С другой стороны, точка C лежит на окружности с центром в точке M и радиусом c. Докажем, что угол C будет наименьшим, когда эта окружность касается Ω. Пусть это не так и указанные окружности пересекаются в точках C₁ и C₂ (рис. справа). Тогда, выбрав точку C на меньшей дуге C₁C₂ (вне большой окружности), получим, что  ∠C < ∠AC₁B = ∠AC₂B.  Противоречие.

  Так как окружности касаются, то точки O, M и C лежат на одной прямой (рис. слева). Обозначим искомый радиус через R. По теореме о произведении длин отрезков хорд  с(2R – с) = ab,  откуда  R = ½ (^ab/_c + c).

Ответ

½ (^ab/_c + c).

Источники и прецеденты использования