Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Верно ли, что многочлен P(n) = n² + n + 41 при всех n принимает только простые значения?
Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число an – 1 простое, то a = 2 и n – простое.
(Числа вида q = 2n – 1 называются числами Мерсенна.)
Дан прямоугольный параллелепипед размерами а) 4 × 4 × 4; б) 4 × 4 × 3; в) 4 × 3 × 3, составленный из единичных кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.
а) Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски. Очередным ходом надо побить хотя бы одну небитую клетку. Слон бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
б) Та же игра, но с ладьями.
Докажите неравенство 2m+n–2 ≥ mn, где m и n – натуральные числа.
На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.
Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.
|
|
 |
Условие
На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.
Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.
Решение
Пусть биссектрисы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I, BL – биссектриса внешнего угла B (L лежит на прямой AC, см. рис.).
Заметим, что точки A1, C1 и L лежат на одной прямой (этот факт можно доказать, используя, например, теорему Менелая, или аналогично решению задачи 107770).
1) Строим прямые AI, BI и CI (биссектрисы углов треугольника) и находим точки A1, C1 и середину W дуги AC как пересечение BI с описанной окружностью.
2) Строим прямые A1C1 и AC и находим точку L их пересечения.
3) Строим прямую BL и находим точку K её пересечения с окружностью.
4) Проводим KW.
Так как угол KBW – прямой, то KW – диаметр, что и требовалось.
