|
|
 |
Условие
Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC, P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.
Решение
Так как BC – поляра точки P относительно описанной окружности Ω треугольника ABC, P лежит на поляре точки L. Так как точки B, C, L, K образуют гармоническую четвёрку, K тоже лежит на поляре L. Следовательно, прямая KP является полярой L относительно Ω, а средняя линия треугольника KLP – радикальной осью Ω и точки L. Докажем, что Q тоже лежит на этой оси.
Пусть M – середина отрезка KL. Так как точка M – центр описанной окружности ω треугольника AKL, перпендикулярной Ω, то она лежит на поляре точки A. Но M также лежит на поляре точки P, следовательно, прямая AP является полярой M относительно Ω и общей хордой Ω и ω. Но прямая LQ является радикальной осью окружности ω и точки L, значит, Q – точка пересечения трёх радикальных осей.
