ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66246
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Точка Лемуана ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Радикальная ось ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC,  P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.


Решение

  Так как BC – поляра точки P относительно описанной окружности Ω треугольника ABC,  P лежит на поляре точки L. Так как точки B, C, L, K образуют гармоническую четвёрку, K тоже лежит на поляре L. Следовательно, прямая KP является полярой L относительно Ω, а средняя линия треугольника KLP – радикальной осью Ω и точки L. Докажем, что Q тоже лежит на этой оси.
  Пусть M – середина отрезка KL. Так как точка M – центр описанной окружности ω треугольника AKL, перпендикулярной Ω, то она лежит на поляре точки A. Но M также лежит на поляре точки P, следовательно, прямая AP является полярой M относительно Ω и общей хордой Ω и ω. Но прямая LQ является радикальной осью окружности ω и точки L, значит, Q – точка пересечения трёх радикальных осей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
тур
задача
Номер 19

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .