ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66315
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Пешнин А.

Докажите, что в остроугольном треугольнике расстояние от любой вершины до соответствующего центра вневписанной окружности меньше чем сумма двух наибольших сторон треугольника.


Решение

  Пусть в треугольнике ABC  ∠A = 2α,  ∠B = 2β,  ∠C = 2γ,  причём  α ≥ β ≥ γ;  Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей; p – полупериметр. Тогда из неравенств  2α < 90° < 2β + 2γ  и  β ≥ γ  следует, что  2β > α.  Кроме того, так как  AIa cos α = BIb cos β = CIc cos γ = p,  то  AIa ≥ BIb ≥ CIc,  и достаточно доказать неравенство  AIa < AC + BC.  Это можно сделать разными способами.
  Первый способ. Заметим, что точка K, симметричная B относительно биссектрисы CIa внешнего угла C, лежит на прямой AC, причём  CK = CB  (рис. слева). Так как BIa – биссектриса внешнего угла B, то  ∠IaKA = ∠IaBC = α + γ,  а так как  ∠IaAK = α,  то  ∠AIaK = 2β + γ > α + γ = ∠IaKA,  то есть  AIa < AK = AC + BC.

               

  Второй способ. Пусть T – точка касания вневписанной окружности с прямой AB, U – точка, симметричная B относительно T (рис. справа). Так как  AT = p,  AU = 2p – AB = AC + BC.  Тогда  ∠AIaU = 180° – ∠UAIa – ∠AUIa = 180° – α – (90° – β) = 90° – α + β > 90° – β = ∠AUIa.  Следовательно,  AU > AIa.

  Третий способ. Пусть W – середина дуги BC описанной окружности треугольника ABC. Из леммы о трезубце (см. задачу 55381) следует, что
AIa = AW + WB.  Поскольку  ⌣BW = 2α < 4β = ⌣AC < (360° – 4γ) – 2α = ⌣ACW – ⌣BW,  точка C лежит ближе к середине дуги ACB, чем W. Следовательно,  AW + BW < AC + BC  (см. решение задачи 55641).

Замечания

Фактически доказано, что любой отрезок от вершины до центра соответствующей вневписанной окружности меньше суммы противолежащей стороны треугольника и наибольшей из прилежащих.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2017
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .