Версия для печати
Убрать все задачи

---

Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?

   Решение

---

Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A₁ и C₁ соответственно. Докажите, что  A₁H = C₁H.

   Решение

---

Треугольники ABC₁ и ABC₂ имеют общее основание AB и  AC₁B = AC₂B. Докажите, что если | AC₁ - C₁B| < | AC₂ - C₂B|, то:
а) площадь треугольника ABC₁ больше площади треугольника ABC₂;
б) периметр треугольника ABC₁ больше периметра треугольника ABC₂.

   Решение

---

Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA₁ и BB₁, которые пересекаются в точке O. Затем провели высоту A₁A₂ треугольника OBA₁ и высоту B₁B₂ треугольника OAB₁. Докажите, что отрезок A₂B₂ параллелен стороне AB.

   Решение

---

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

При каких  n > 3  правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

   Решение

---

Почтальон Печкин не хотел отдавать посылку. Тогда Матроскин предложил ему сыграть в следующую игру: каждым ходом Печкин пишет в строку слева направо буквы, произвольно чередуя М и П, пока в строке не будет всего 11 букв. Матроскин после каждого его хода, если хочет, меняет местами любые две буквы. Если в итоге окажется, что записанное слово является палиндромом (то есть одинаково читается слева направо и справо налево), то Печкин отдаёт посылку. Сможет ли Матроскин играть так, чтобы обязательно получить посылку?

   Решение

---

В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то  AB = CD.

   Решение

---

Цифры натурального числа  $n$ > 1  записали в обратном порядке и результат умножили на $n$. Могло ли получиться число, записываемое только единицами?

   Решение

Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Цифры натурального числа  $n$ > 1  записали в обратном порядке и результат умножили на $n$. Могло ли получиться число, записываемое только единицами?

Решение 1

  Предположим, что так получилось для чисел  $n = \overline{a_k...a_0}$  и  $m = \overline{a_0...a_k}$.
  Последняя цифра числа $a_ka_0$ совпадает с последней цифрой $nm$, то есть равна 1. Это возможно только в трёх случаях: $a_0$ и $a_k$ – две девятки, тройка и семёрка или две единицы. В первом случае  $(9\cdot 10^k)^2 \leqslant nm < (10\cdot10^k)^2$,  то есть $nm$ начинается на 8 или 9. Во втором случае аналогично  $21\cdot10^{2k} \leqslant nm < 32\cdot10^{2k}$,  то есть $nm$ начинается на $2$ или $3$. Следовательно,  $a_k = a_0 = 1$.
  Заметим, что  $nm = b_0\cdot10^{2k} + b_1\cdot10^{2k-1} + ... + b_1\cdot10 + b_0$,  где  $b_i = a_0a_{k-i} + a_1a_{k-i+1} + ... + a_ia_k$.
  С другой стороны  $10^{2k} \leqslant nm < 4\cdot10^{2k}$,  значит,  $nm = 10^{2k} + 10^{2k-1} + ... + 10 + 1$.
  Сравним два выражения $nm$ и покажем, что все соответствующие слагаемые равны. Для первого слагаемого это так. Пусть это верно для $i$ первых слагаемых. Тогда  $b_{2k-i}\leqslant 1$,  иначе первое выражение больше, поскольку  $10^{2k-i} > 10^{2k-i-1}  +  ...  +  1$.  Ещё у выражений совпадают и последние $i$ слагаемых, поэтому  $b_i > 0$  (иначе выражения будут отличаться $(i+1)$-й цифрой справа). Значит и  $b_i = 1$.
  В частности,  $b_k = 1$.  Но  $b_k \geqslant a_0^2 + a_k^2 =2$  при  $k > 0$.  Следовательно,  $k = 0$,  то есть  $n = 1$,  что противоречит условию.

Решение 2

  Заметим сначала, что произведение двух $k$-значных чисел – либо $(2k-1)$-значное число, либо $2k$-значное.
  Пусть даны числа  $\overline{a_{k}a_{k-1}...a_{2}a_{1}}$  и  $\overline{a_{1}a_{2}...a_{k-1}a_{k}}$.  Представим себе, что мы умножаем их в столбик.
  В самом правом разряде будет стоять $a_1a_k$ (возможно, с переносом, который уйдёт в следующие разряды), и в $(2k-1)$-м справа разряде тогда – минимум $a_1a_k$. По условию, $a_1a_k$ оканчивается на 1. Если есть ещё и перенос, то $a_1a_k$ не меньше 11, и как минимум этот же перенос есть и в $(2k-1)$-м разряде. Но произведение двух цифр не может дать 11, то есть $a_1a_k$ ещё больше. Значит, в $(2k-1)$-м разряде после всех переносов должно получиться минимум $111$ (иначе в итоге не получится число из одних единиц), что невозможно – в нашем произведении будет слишком много цифр (не меньше $2k+1$). Поэтому переноса нет и  $a_1 = a_k = 1$.  Тогда произведение наших чисел будет меньше чем  $(2\cdot 10^{k-1})\cdot(2\cdot 10^{k-1}) = 4\cdot 10^{2k-2}$,  то есть в произведении $2k–1$ разрядов.
  Посмотрим теперь на второй разряд справа. Там стоит $a_ka_2+a_{k-1}a_1$, возможно с переносом. Если перенос есть, то минимум такой же перенос будет и в $(2k-2)$-м разряде, и единица в $(2k-1)$-м разряде испортится. Значит, переноса нет, и  $a_ka_2 + a_{k-1}a_1 = 1$.  Аналогично и в третьем разряде (справа и слева) переноса нет и там 1, и так далее. Так мы дойдём до середины и получим, что там тоже 1 без переноса. Но на среднем месте стоит  $a_1^2   + ... +  a_k^2$,  что не меньше 2 (ведь  $a_1 = a_k = 1$).  Противоречие. Значит, число из одних единиц получить нельзя.

Ответ

Не могло.

Замечания

9 баллов

Источники и прецеденты использования