Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  p + n^2k  ни при каких простых p и целых n и k.

   Решение

Вычислите
  а)  cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉;
  б)  cos ^π/₇ + cos ^3π/₇ + cos ^5π/₇.

   Решение

Число рёбер многогранника равно 100.
  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
  в) но не может равняться 100.

   Решение

Школьник едет на кружок на трамвае, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно также поедет в трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Примечание. Проезд в трамвае стоил 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Известно, что в десятичной записи числа 2²⁹ все цифры различны. Есть ли среди них цифра 0?

Решение

  Заметим, что  2·2²⁹ = 2³⁰ = (1024)³ < 2·10⁹.  Следовательно,  2²⁹ < 10⁹.  С другой стороны,  2²⁹ = (2¹⁰)²·2⁹ = (1024)²·512 > 5·10⁸.  Поэтому в записи числа 2²⁹ ровно девять цифр.
  Если среди них нет нуля, то сумма цифр в десятичной записи этого числа равна  1 + 2 + ... + 9 = 45.  Отсюда следует, что 2²⁹ делится на 3, что не так. Противоречие.

Ответ

Есть.

Замечания

1.  2²⁹ ≡ –4 (mod 9),  поэтому в записи этого числа отсутствует цифра 4.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования