Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?
На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).
Разложить на целые рациональные множители выражение a10 + a5 + 1.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники A1BC, AB1C и ABC1. Докажите,
что
AA1 = BB1 = CC1.
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD
построены внешним образом правильные треугольники BCP
и CDQ. Докажите, что треугольник APQ правильный.
На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?
|
|
 |
Условие
На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?
Решение
Обозначим стоимости одного фрукта: лимона L, банана B, апельсина А, вишни V. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Из условия задачи получим два равенства, которые должны выполняться одновременно: L + B = 2A + 23V; 3L = 2B + 2A + 14V. Умножим обе части второго равенства на 2: 6L = 4B + 4A + 28V Используя первое равенство, получим: 4A + 28V > 2A + 23V = L + B. Следовательно, 6L > 4B + L + B, откуда L > B.
Второй способ. Предположим, что L ≤ B; тогда 2L ≤ 2B. Тогда, так как 3 лимона можно обменять на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен, то L ≥ 2A + 14V. Используя теперь, что 1 лимон и 1 банан обмениваются на 2 апельсина и 23 вишни, получим: B ≤ 9V ≤ 14V + 2A ≤ L, то есть B < L. Это противоречит исходному предположению, значит, лимон дороже банана.
Ответ
лимон дороже.
