Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?
На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).
Разложить на целые рациональные множители выражение a10 + a5 + 1.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники A1BC, AB1C и ABC1. Докажите,
что
AA1 = BB1 = CC1.
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD
построены внешним образом правильные треугольники BCP
и CDQ. Докажите, что треугольник APQ правильный.
На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?
Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.
|
|
 |
Условие
Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.
Решение
Так как AD = AE, то точка A лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DE (см. рис.). Аналогично точка B лежит на серединном перпендикуляре к DE. Учитывая, что двумя точками прямая определяется однозначно, получим: прямая AB – серединный перпендикуляр к отрезку DE. Так как точка C лежит на серединном перпендикуляре к DE, то C равноудалена от D и E, то есть CD = CE, что и требовалось.
