ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Докажите, что abc = 4prR и
ab + bc + ca = r2 + p2 + 4rR.
Около окружности описан четырёхугольник. Его диагонали пересекаются в центре этой окружности. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб. Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Найдите наименьшую величину выражения Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин. |
Задача 66563
УсловиеСреди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин. РешениеОбозначим количество фильмов за $n$. Представим, что человек купил билеты на те фильмы, которые ему понравились. Тогда всего продано $8n$ билетов, причем поскольку мужчинам и женщинам продано одинаковое количество билетов, то $4n$ билетов купили мужчины и $4n$ — женщины. Тогда фильмов, на которых хотя бы $7$ из $8$ билетов продано женщинам, не более чем $\frac{4n}{7}$, значит, других хотя бы $n-\frac{4n}{7}=\frac{3}{7}n$, а это и есть фильмы, понравившиеся хотя бы 2 мужчинам. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке