Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что abc = 4prR и  ab + bc + ca = r2 + p2 + 4rR.

Вниз   Решение


Около окружности описан четырёхугольник. Его диагонали пересекаются в центре этой окружности. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

ВверхВниз   Решение


Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

ВверхВниз   Решение


Найдите наименьшую величину выражения   + + ... + .

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.

Вверх   Решение

Задача 66563
Тема:    [ Логика и теория множеств (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8,9,10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.

Решение

Обозначим количество фильмов за $n$. Представим, что человек купил билеты на те фильмы, которые ему понравились. Тогда всего продано $8n$ билетов, причем поскольку мужчинам и женщинам продано одинаковое количество билетов, то $4n$ билетов купили мужчины и $4n$ — женщины. Тогда фильмов, на которых хотя бы $7$ из $8$ билетов продано женщинам, не более чем $\frac{4n}{7}$, значит, других хотя бы $n-\frac{4n}{7}=\frac{3}{7}n$, а это и есть фильмы, понравившиеся хотя бы 2 мужчинам.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 83
Год 2020
класс
Класс 10
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .