Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка видит другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.
Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по положительному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором AE || CD и $AB = BC$. Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что BK || AE.
За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?
На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.
|
|
 |
Условие
На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.
Решение
Поскольку $(x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2)$, то сумма квадратов всех чисел на доске увеличивается в два раза с каждым ходом. Из формулы \begin{align*} (n-3)^2 + (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 +{}\\ +(n+3)^2 + (n+4)^2 = 8n^2 + 8n + 44 \end{align*} ясно, что сумма квадратов $8$ последовательных целых чисел даёт остаток $4$ при делении на $8$. Значит, сумма квадратов $1000$ последовательных целых чисел тоже даёт остаток $4$ при делении на $8$.
Таким образом, после первого хода сумма квадратов чисел на доске всегда будет делиться на $8$, и, следовательно, на доске никогда больше не появятся $1000$ последовательных целых чисел.
Замечание. Число $1000$ в условии этой задачи можно заменить на произвольное чётное число. Доказательство основано на том, что сумма квадратов $2^k$ последовательных целых чисел даёт остаток $2^{k-1}$ при делении на $2^k$.
