Информация о задаче

Задача 66658

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Автор: Тахаев С.

Окружности $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ касаются друг друга внешним образом и касаются изнутри окружности $\Omega$ в точках $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ соответственно. Общая внутренняя касательная к $\alpha$ и $\beta$ пересекает не содержащую $C_1$ дугу $A_1B_1$ в точке $C_2$ . Точки $A_2$ , $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$ , $B_1B_2$ , $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть касательные к $\Omega$ в точках $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ образуют треугольник $ABC$ . Для определенности будем считать, что $\Omega$ – вписанная (а не вневписанная) окружность этого треугольника. Заметим, что, например, точка $C$ является радикальным центром окружностей $\alpha$ , $\beta$ и $\Omega$ , т.е. лежит на общей внутренней касательной к окружностям $\alpha$ и $\beta$ . Кроме того, общие касательные к окружностям $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ пересекаются в их радикальном центре – точке $X$ . Поэтому утверждение задачи можно переформулировать следующим образом.

Дан треугольник $ABC$ и точка $X$ , лежащая внутри его вписанной окружности. Отрезки $XA$ , $XB$ , $XC$ пересекают окружность в точках $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ , а стороны треугольника касаются ее в точках $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ . Тогда прямые $A_1A_2$ , $B_1B_2$ , $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Применив теорему синусов к треугольникам $A_1CC_2$ и $B_1CC_2$ , получим Теперь, применив теорему Чевы к треугольникам $ABC$ и $A_1B_1C_1$ , получим нужное утверждение.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задача
Номер	17 [10-11 кл]