Задача 66658

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Радикальная ось ] [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Тахаев С.

Окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касаются друг друга внешним образом и касаются изнутри окружности $\Omega$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Общая внутренняя касательная к $\alpha$ и $\beta$ пересекает не содержащую $C_1$ дугу $A_1B_1$ в точке $C_2$. Точки $A_2$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть касательные к $\Omega$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ образуют треугольник $ABC$. Для определенности будем считать, что $\Omega$ – вписанная (а не вневписанная) окружность этого треугольника. Заметим, что, например, точка $C$ является радикальным центром окружностей $\alpha$, $\beta$ и $\Omega$, т.е. лежит на общей внутренней касательной к окружностям $\alpha$ и $\beta$. Кроме того, общие касательные к окружностям $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ пересекаются в их радикальном центре – точке $X$. Поэтому утверждение задачи можно переформулировать следующим образом.

Дан треугольник $ABC$ и точка $X$, лежащая внутри его вписанной окружности. Отрезки $XA$, $XB$, $XC$ пересекают окружность в точках $A_2$, $B_2$, $C_2$, а стороны треугольника касаются ее в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$. Тогда прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Применив теорему синусов к треугольникам $A_1CC_2$ и $B_1CC_2$, получим $$ \frac{A_1C_2}{B_1C_2} = \frac{\sin\angle A_1CC_2}{\sin\angle B_1CC_2} \cdot \frac{\sin\angle CB_1C_2}{\sin\angle CA_1C_2} = \frac{\sin\angle A_1CC_2}{\sin\angle B_1CC_2} \cdot \frac{B_1C_2}{A_1C_2}. $$ Теперь, применив теорему Чевы к треугольникам $ABC$ и $A_1B_1C_1$, получим нужное утверждение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задача
Номер	17 [10-11 кл]