Версия для печати
Убрать все задачи

---

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, добрых и злых, при этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император – нет. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой говорит что угодно. На празднике император сначала выдаёт каждому волшебнику по бумажке с вопросом (требующим ответа "да" или "нет"), затем волшебники отвечают, и после всех ответов император одного изгоняет. Волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. После этого император вновь выдаёт каждому из оставшихся волшебников по бумажке с вопросом, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (это возможно после любого из ответов, и после остановки можно никого не изгонять). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.

   Решение

---

Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная с шести.

   Решение

---

Даны угол и внутри его точки A и B. Постройте параллелограмм, для которого точки A и B — противоположные вершины, а две другие вершины лежат на сторонах угла.

   Решение

---

В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени t = 0 возбудить три соседние клетки, а остальные оставить в покое, то возбуждение будет распространяться так, как показано на рисунке.

Пусть в начальный момент времени возбуждена только одна клетка. Сколько клеток будет находится в возбужденном состоянии через 15 мсек? через 65 мсек? через 1000 мсек? вообще через t мсек?

Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а состоит из N клеток, соединённых в окружность,— будет ли возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет?

   Решение

---

Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.

   Решение

Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.

Решение

  $1 + 2$  – не квадрат. Пусть  $n > 1$.

  Первый способ. Разобьём эти числа на четвёрки подряд идущих, и, если надо, шестёрку первых чисел. Из четвёрок образуем  $(a + (a + 3))((a + 1) + (a + 2)) = (2a + 3)^2$,  из шестёрки –  $(1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)=18^2$.

  Второй способ. Если $n$ чётно, то  $(1 + 2n)(2 + (2n - 1))...(n + (n + 1)) = (2n + 1)^n$  – квадрат.
  Если $n$ нечётно, то  $(1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)(7 + 2n)(8 + (2n - 1))...((n + 3) + (n + 4)) = 18^2(2n + 7)^{n-3}$  – квадрат.

Ответ

Все   $n > 1$.

Замечания

1. Для  $n = 2, 3$  разбиение единственно, в остальных случаях – нет.

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования