Докажите, что если a и b – целые числа и  b ≠ 0,  то существует единственная пара чисел q и r, для которой  a = bq + r,  0 ≤ r < |b|.

   Решение

Число x таково, что число x +  — целое. Докажите, что при любом натуральном n число xⁿ + также является целым.

   Решение

Сколько существует восьмизначных чисел, в записи которых цифры идут в порядке убывания?

   Решение

Решить уравнение  x³ – [x] = 3.

   Решение

Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна 60^o.

   Решение

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике $ABC$ $AL_a$, $BL_b$, $CL_c$ – биссектрисы, $K_a$ – точка пересечения касательных к описанной окружности в вершинах $B$ и $C$; $K_b$, $K_c$ определены аналогично. Докажите, что прямые $K_aL_a$, $K_bL_b$ и $K_cL_c$ пересекаются в одной точке.

Решение

Так как треугольник $ABK_c$ равнобедренный, то, применив теорему синусов к треугольникам $AL_cK_c$ и $BL_aK_c$, получим, что $\sin\angle AK_cL_c:\sin\angle BK_cL_c=AL_c:BL_c$. Из этого и двух аналогичных соотношений, применив теорему Чевы, получаем утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования