|
|
 |
Условие
Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
Решение
Пусть рёбра куба параллельны осям координат.
а) Разобьём куб на слои толщиной 1, параллельные плоскости $Oxy$.
Рассмотрим только спицы направлений $Ox$ и $Oy$. В каждом слое найдём максимум числа таких спиц, идущих в одном направлении. Точно также найдём максимумы числа спиц для каждого слоя параллельного $Oxz$ и параллельного $Oyz$. Пусть $k$ – минимум из 6$n$ этих максимумов.
Рассмотрим слой $K$, где максимум равен $k$. В слое можно выбрать $2n - k$ строк и $2n - k$ столбцов, через которые не проходят спицы слоя. На пересечении выбранных рядов есть $(2n - k)^2$ кубиков, их протыкают $(2n - k)^2$ спиц, перпендикулярных $K$. Покрасим эти $(2n - k)^2$ спиц в синий цвет. Выберем грань $P$ куба, перпендикулярную слою $K$. Рассмотрим слои, параллельные $P$ и не содержащие синих спиц. Их ровно $k$. В каждом таком слое можно выбрать не менее $k$ спиц одного направления, всего не менее $k^2$ спиц. Добавим к ним синие спицы. По известному неравенству $k^2+(2n-k)^2\geqslant\frac{1}{2} (k+(2n-k))^2=2n^2.$
б) Выделим в нашем кубе два меньших куба со стороной $n$, примыкающие к противоположным вершинам. Они состоят из $2n^3$ единичных кубиков. Проткнём каждый выделенный кубик тремя перпендикулярными спицами. Тогда и все невыделенные единичные кубики тоже проткнуты. Заметим, что каждая спица протыкает ровно $n$ выделенных кубиков. Значит, если спицы выбраны так, что никакой кубик не проткнут дважды, то спиц не более чем $2n^3:n = 2n^2$.
Ответ
б) $2n^2$ спиц.
Замечания
баллы: 6 + 6
