|
|
 |
Условие
На доске написаны 2$n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2$n$ последовательных чисел.
Решение
По известной формуле $1^2 + 2^2 + ... + (2n)^2$ = ⅓ $n(n + 1)(4n + 1)$. Пусть $m = \frac{n}{НОД(n,3)}$. Тогда $1^2 + 2^2 + ... + (2n)^2$ делится на $m$, но не на 2$m$. Это верно не только для суммы квадратов чисел от 1 до 2$n$, но и для суммы квадратов любых 2$n$ последовательных чисел: если из набора 2$n$ последовательных квадратов удалить квадрат в начале и добавить квадрат в конце, то остаток от деления их суммы на 2$m$ не изменится.
Если $x$ и $y$ заменить на $x + y$ и $x - y$, то $x^2 + y^2$ заменится на $(x + y)^2 + (x - y)^2 = 2x^2 + 2y^2$. Поэтому в итоге сумма квадратов чисел умножается на 2 на каждом шаге. Сумма квадратов исходных чисел делится на $m$, но не делится на 2$m$. Но на каждом шаге сумма квадратов полученных чисел будет делиться на 2$m$, поэтому это не будут последовательные числа.
Замечания
10 баллов
