На одной из медиан треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка $Q$, что $\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC$.

   Решение

Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?

   Решение

Тема:    [ Окружности (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?

Решение

Возьмём параллелограмм, как на рисунке. Если бы окружность пересекла его стороны $AB$ и $CD$, то её центр лежал бы на каком-то перпендикуляре к отрезку $AB$ и на каком-то перпендикуляре к отрезку $CD$. Но такие перпендикуляры не пересекаются (они лежат в непересекащихся полосах).

Ответ

нет.

Источники и прецеденты использования