Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Клетки бумажного квадрата $8 \times 8$ раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата $2 \times 2$, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.)
Биссектриса угла C и внешнего угла A трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке M, а биссектриса угла B и внешнего угла D – в точке N. Докажите, что середина отрезка MN равноудалена от прямых AB и CD.
В треугольнике $ABC$ ($a>b>c$) указаны инцентр $I$, а также точки $K$ и $N$ касания вписанной окружности со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Проведя не более трёх линий одной линейкой, постройте отрезок длины $a-c$.
Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ при продолжении пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $W$. Окружность $s$, построенная на отрезке $AH$ как на диаметре ($H$ – ортоцентр в треугольнике $ABC$), пересекает $\omega$ в точке $P$. Восстановите треугольник $ABC$, если остались точки $A$, $P$, $W$.
В треугольнике ABC AB = BC. Из точки E на стороне AB опущен перпендикуляр ED на BC. Оказалось, что AE = ED. Найдите угол DAC.
Около прямоугольника $ABCD$ описана окружность. На меньшей дуге $BC$ окружности взята произвольная точка $E$. К окружности проведена касательная в точке $B$, пересекающая прямую $CE$ в точке $G$. Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямые $GK$ и $AD$ перпендикулярны.
Постройте треугольник $ABC$ по вершине $A$, центру описанной окружности $O$ и прямой Эйлера, если известно, что прямая Эйлера отсекает на сторонах $AB$ и $AC$ равные отрезки от вершины $A$.
|
|
 |
Условие
Постройте треугольник $ABC$ по вершине $A$, центру описанной окружности $O$ и прямой Эйлера, если известно, что прямая Эйлера отсекает на сторонах $AB$ и $AC$ равные отрезки от вершины $A$.
Решение
Из условия следует. что прямая Эйлера параллельна внешней биссектрисе угла $A$. Так как $AO$ и $AH$ – изогонали, то $AO=AH$. Значит, мы можем найти $H$ как вторую точку пересечения окружности с центром $A$ и радиусом $AO$ с прямой Эйлера. Пусть теперь $AH$ вторично пересекает описанную окружность в точке $D$. Тогда $B$ и $C$ – точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $HD$ с описанной окружностью.
Замечания
Так как в любом треугольнике $AH$ равно удвоенному расстоянию от $O$ до $BC$, а в нашем треугольнике $AH$ равно радиусу описанной окружности, угол $A$ равен $60$ или $120$ градусам. Легко видеть, что при $\angle A=60^{\circ}$ прямая Эйлера параллельна внешней биссектрисе угла $A$, а при $\angle A=120^{\circ}$ – внутренней. Таким образом, в данном треугольнике $\angle A=60^{\circ}$.Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2020 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 9 [8-9 кл] |
