В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна b. Расстояние между основаниями биссектрис треугольника, проведённых к боковым сторонам, равно m. Найдите основание треугольника.

   Решение

Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б) на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?

   Решение

Докажите неравенства:
  а)   n(x₁ + ... + x_n) ≥ ( + ... + )²
  б)   ≤ + ... + ;
  в)  

  г)     (неравенство Минковского).
  Значения переменных считаются положительными.

   Решение

Дан треугольник ABC, в котором  ∠A = α,  ∠B = β.  На стороне AB взята точка D, а на стороне AC – точка M, причём CD – биссектриса треугольника ABC,
DM || BC  и  AM = a.  Найдите CM.

   Решение

Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$, $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$, $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$, $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$, $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$.

Решение

Рассмотрим случай остроугольного треугольника $ABC$, остальные случаи аналогичны. Так как $$\angle AOC=2\angle ABC=2(180^{\circ}-\angle A_1BC_1)=\angle A_1O_1C_1,$$ треугольники $AOC$ и $C_1O_1A_1$ подобны и одинаково ориентированы (см. рис.). Так как их соответственные стороны $AC$ и $A_1C_1$ перпендикулярны, $AO$ и $C_1O_1$ также перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования