|
|
 |
Условие
Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале (0, 1)?
Решение
Оценка. Все 2022 корня многочлена лежать на интервале (0, 1) не могут: в противном случае свободный член многочлена, равный по теореме Виета произведению корней, лежит на интервале (0, 1) и не может быть целым.
Пример 1. Рассмотрим многочлен $P(x) = x^{2022} + (1 - 4042x)(3 - 4042x)...(4041 - 4042x)$. Заметим, что при всех $k$ = 0, 1, ..., 2021 число
$P\Bigl(\frac{2k}{4042}\Bigr) = \Bigl(\frac{2k}{4042}\Bigr)^{2022}$ + (–1)k(2k – 1)!!(4041 – 2k)!! положительно при чётном $k$ и отрицательно при нечётном. Таким образом, на интервале (0, 1) многочлен $P(x)$ меняет знак по крайней мере 2021 раз и, следовательно, имеет хотя бы 2021 корень.
Пример 2. Будем считать, что $P(0)$ ≠ 0. Рассмотрим многочлен $Q(x) = x^nP\big(\frac1x\big)$ степени $n$ с целыми коэффициентами и свободным членом, равным 1 (его коэффициенты – это коэффициенты многочлена $P$, выстроенные в обратном порядке). Каждому корню $x_0$ многочлена $P$, лежащему на интервале (0, 1), соответствует корень $\frac{1}{x_0}$ многочлена $Q$, лежащий на луче (1, + ∞). Верно и обратное: каждому корню многочлена $Q$, лежащему на луче (1, + ∞), соответствует корень многочлена $P$, который лежит на интервале (0, 1).
Рассмотрим многочлен $Q(x) = 1 + x(x - 10)(x - 20)...(x - 10(n - 1))$. Поскольку $Q$(5) < 0, $Q$(15) > 0, ..., $Q(10(n - 2) + 5) < 0$, $Q(10(n - 1) + 5) > 0$, в рассмотренных $n$ точках многочлен $Q(x)$ принимает значения чередующихся знаков, поэтому он имеет $n$ – 1 корень на луче (1, + ∞). Эти корни расположены на интервалах (5, 15), (15, 25), ..., $(10(n - 2) + 5, 10(n - 1) + 5)$. Следовательно, соответствующий построенному многочлену $Q$ многочлен $P$ имеет ровно $n$ – 1 корень на интервале (0, 1).
Ответ
2021 корень.
Замечания
1. Решение 2 подходит для многочлена произвольной чётной степени $n$. Пример можно модифицировать и для случая нечётного $n$.
2. 8 баллов.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| год/номер | |
| Номер | 43 |
| Дата | 2021/22 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс |
| задача | |
| Номер | 5 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 85 |
| Год | 2022 |
| класс | |
| Класс | 11 |
| задача | |
| Номер | 5 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 85 |
| Год | 2022 |
| класс | |
| Класс | 10 |
| задача | |
| Номер | 4 |
