Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Рассматривается последовательность 1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, 1/7, ... Существует ли арифметическая прогрессия
а) длины 5;
б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?
Каждая из двух равных окружностей ω1 и ω2 проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω1, а прямые AC, BC касаются ω2.
Докажите, что cos∠A + cos∠B = 1.
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
Даны две концентрические окружности S1 и S2. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
Центр круга – точка с декартовыми координатами (a, b). Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим через S+ общую площадь частей круга, состоящих из точек, обе координаты которых имеют одинаковый знак; а через S– – площадь частей, состоящих из точек с координатами разных знаков. Найдите величину S+ – S–.
Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги) так, что получилась пятиугольная звезда, разделённая проведёнными отрезками на пять треугольников и пятиугольник. Оказалось, что все пять треугольников равны. Обязательно ли пятиугольник правильный?
Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира: 2021:43 = 47. Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?
|
|
 |
Условие
Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира: 2021:43 = 47. Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?
Решение
Так как сейчас 43-й Турнир, то осенний тур $n$-го Турнира проходит в году 46·43 + $n$. Число 46·43 + $n$ делится на $n$ тогда и только тогда, когда 46·43 = 2·23·43 делится на $n$.
У числа 2·23·43 есть 4 делителя больших 43: 2·23, 2·43, 23·43 и 2·23·43.
Ответ
Еще 4 раза.
Замечания
4 балла
