Дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $MN\parallel AC$. Точки $M'$ и $N'$ симметричны соответственно точкам $M$ и $N$ относительно сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Пусть $M'A$ пересекает $BC$ в точке $X$, а $N'C$ пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что точки $A$, $C$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.

   Решение

В стране 15 городов, некоторые из них соединены авиалиниями, принадлежащими трём авиакомпаниям. Известно, что даже если любая из авиакомпаний прекратит полеты, можно будет добраться из каждого города в любой другой (возможно, с пересадками), пользуясь рейсами оставшихся двух компаний. Какое наименьшее количество авиалиний может быть в стране?

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей, $P$ – произвольная точка на отрезке $OI$, точки $P_A$, $P_B$ и $P_C$ – вторые точки пересечения прямых $PA$, $PB$ и $PC$ с окружностью $ABC$. Докажите. что биссектрисы углов $BP_AC$, $CP_BA$ и $AP_CB$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $OI$.

Решение

Заметим, что для любой точки $P$ биссектриса угла $BP_AC$ вторично пересекает описанную окружность в фиксированной точке – середине дуги $BAC$. Поэтому точка пересечения биссектрисы с прямой $OI$ проективно зависит от $P$. Это же верно для точек пересечения $OI$ с биссектрисами углов $CP_BA$ и $AP_CB$. При этом, когда $P$ совпадает с $I$, все три биссектрисы проходят через $O$, а когда $P$ является одной из точек пересечения прямой $OI$ с окружностью, биссектрисы пересекают $OI$ в той же точке. Значит, для любого положения точки $P$ все биссектрисы пересекают $OI$ в одной и той же точке.

Источники и прецеденты использования