Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Найдётся ли такое десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырёхзначное число?
Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.
В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?
Учащиеся одной школы часто собираются группами и ходят в кафе-мороженое. После такого посещения они ссорятся настолько, что никакие двое из них после этого вместе мороженое не едят. К концу года выяснилось, что в дальнейшем они могут ходить в кафе-мороженое только поодиночке. Докажите, что если число посещений было к этому времени больше 1, то оно не меньше числа учащихся в школе.
Учитель выбрал 10 подряд идущих натуральных чисел и сообщил их Пете и Васе. Каждый мальчик должен разбить эти 10 чисел на пары, подсчитать произведение чисел в каждой паре, а затем сложить полученные пять произведений. Докажите, что мальчики могут сделать это так, чтобы разбиения на пары у них не были одинаковыми, но итоговые суммы совпадали.
Дан правильный треугольник ABC с центром O. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает описанную окружность треугольника AOB в точках D и E. Докажите, что точки A, O и середины отрезков BD, BE лежат на одной окружности.
На сторонах треугольника ABC построены три подобных треугольника: YBA и ZAC – во внешнюю сторону, а XBC – внутрь (соответственные вершины перечисляются в одинаковом порядке). Докажите, что AYXZ – параллелограмм.
На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количества точек на гранях каждого игрального кубика равны числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)
|
|
 |
Условие
На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количества точек на гранях каждого игрального кубика равны числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)
Решение
Решение 1. Пусть есть пара противоположных кубиков, то есть сумма точек на их верхних гранях равна 7. Заметим, что на эту пару потребуется суммарно 2 рубля, к какому бы значению ни захотелось их привести. Будем откладывать пары противоположных, пока они есть. Так как исходное количество кубиков нечётно, то в конце останется хотя бы один кубик. Тогда остальные непарные кубики, каждый не более чем за рубль, можно привести в состояние этого оставшегося кубика. Значит, 2022 рублей хватит.
С другой стороны, мог остаться только один кубик без пары, поэтому 2022 рубля необходимо.
Решение 2. Обозначим через $k_i$ общее количество кубиков с $i$ точками на верхней грани, а через $n_i$ – наименьшее количество рублей, за которое можно на всех верхних гранях сделать по $i$ точек. Тогда $k_1 + … + k_6 = 2023$, а $n_1 = k_2 + k_3 + k_4 + k_5 + 2k_6 = 2023 + k_6 – k_1$, и аналогично $n_2 = 2023 + k_5 – k_2, ..., n_6 = 2023 + k_1 – k_6$. Тогда $n_1 + … + n_6 = 6⋅2023$. Пусть среди чисел $n_1, …, n_6$ нет числа, меньшего 2023. Тогда $n_1 = … = n_6 = 2023$, откуда $k_1 = k_6, k_2 = k_5, k_3 = k_4$, поэтому $2023 = k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5 + k_6 = 2(k_1 + k_2 + k_3)$ – чётное число. Противоречие. Значит, одно из чисел $n_1, …, n_6$ не превосходит 2022, то есть 2022 рублей в любом случае достаточно.
При $k_1 = … = k_5 = 337$, $k_6 = 338$ получим $n_1 = 2024, n_2 = … = n_5 = 2023, n_6 = 2022$, то есть 2021 рубля недостаточно.
Ответ
за 2022 рубля.
