Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
У Коли есть отрезок длины k, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения k/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?
а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 2 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.
б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 3 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.
Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня) $$ \sqrt{(* + *)\cdot \sqrt{(* + *) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{*+*}}}} . $$ Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?
|
|
 |
Условие
Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня)
$$
\sqrt{(* + *)\cdot \sqrt{(* + *) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{*+*}}}} .
$$
Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?
Решение
Проще всего построить пример справа налево по следующей схеме. Сначала вместо нескольких последних звёздочек подбираются числа так, чтобы после извлечения очередного корня получалось целое число $n$ (они образуют так называемый «хвост» нашего выражения). Все дальнейшие суммы звёздочек также делаются равными $n$ (их мы можем заполнить, если выбрать $n$ таким образом, чтобы количество доступных пар чисел, дающих в сумме $n$, было достаточно большим). Тогда значение выражения будет равно $n$.
В следующем выражении через $A$ обозначен «хвост» – цепочка вложенных корней, значение которой равно $n^2$. Таким образом, $\sqrt A=n$ и всё выражение равно $n$: $$ n=\sqrt{n \sqrt{n\ldots \sqrt{n\sqrt{A}}}}. $$ Например, можно взять $n=120$. При этом сделать $$A = (101+99) \sqrt{(120 + 96) \sqrt{(100 + 44) \sqrt{(1 + 15)}}}=120^2.$$ Теперь осталось сделать все оставшиеся $46$ сумм звёздочек равными $120$.
Всего есть $59$ представлений числа $120$ в виде суммы двух разных натуральных чисел ($1+119$, $2+118, \ldots, 59 + 61$). Из них недоступными оказываются те, что содержат числа $101$, $99$, $96$, $100$, $44$, $1$ и $15$, т. е. $7$ представлений. Поэтому $52$ представления оказываются доступными. Выберем из них любые $46$ представлений и поставим вместо оставшихся звёздочек.
Ответ
Да, могло.
