|
|
 |
Условие
Петя покрасил 100 натуральных чисел в красный цвет и 100 других натуральных чисел — в синий. Вася выписал на доску 200 выражений: для каждого красного числа $n$ записал $\frac{x^n}{1-x}$, а для каждого синего числа $m$ записал $\frac{x^m}{1-x^{-1}}.$ После этого мальчики сложили все записанные выражения, привели подобные и упростили выражение. Докажите, что у них получился многочлен от $x$.Решение
Решение 1. Заметим, что $$\frac{x^n}{1-x} = \frac{x^n-1}{1-x} + \frac{1}{1-x} = \frac{(x-1) (x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1)}{1-x} + \frac{1}{1-x} =$$ $$= - (x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1) + \frac{1}{1-x}.$$ В свою очередь, $$\frac{x^m}{1-x^{-1}} = \frac{x^{m+1}}{x-1} = \frac{x^{m+1}-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} =$$ $$= \frac{(x-1) (x^{m} + x^{m-1} + \dots + 1)}{x-1} + \frac{1}{x-1} = x^{m} + x^{m-1} + \dots + 1 - \frac{1}{1-x}.$$ Таким образом, 100 слагаемых, соответствующих красным числам, в сумме дадут некоторый многчлен и $100 \cdot \frac{1}{1-x}$, а 100 слагаемых, соответствующих синим числам — многочлен и $(-100) \cdot \frac{1}{1-x}$. То есть 100 «красных» дробей и 100 «синих» дробей взаимно уничтожатся, и останется только многочлен.
Решение 2. Разобъём 200 чисел на 100 пар, в каждой паре одно число — красное, другое — синее. Посмотрим на сумму выражений, соответствующих красному числу $n$ и синему $m$: $$\frac{x^n}{1-x} + \frac{x^m}{1-x^{-1}} = \frac{x^n}{1-x} - \frac{x^{m+1}}{1-x} = \frac{x^n-x^{m+1}}{1-x} =\begin{cases} x^n+\ldots+x^m,&m\geqslant n\\ -x^{m+1}-\ldots-x^{n-1},&m< n \end{cases} .$$ Таким образом, сумма выражений каждой пары синего и красного числа — это многочлен, а значит, и после приведения подобных и упрощения получится многочлен.
Комментарий. Если $|x|<1$, то сумма бесконечной геометрической прогрессии $x^n+x^{n+1}+ \dots$ равна $\frac{x^n}{1-x}$. Поэтому, если число $x$ достаточно маленькое (и $m>n$), то $$x^n+x^{n+1}+\ldots+x^m\approx \frac{x^n}{1-x}.$$ Если, наоборот, число $x$ достаточно большое, то можно оценить ту же сумму по-другому: $$x^m+x^{m-1}+\ldots+x^n \approx x^m+x^{m-1}+\ldots = \frac{x^m}{1-x^{-1}}.$$ Эти два приближенных ответа получены для совершенно разных диапазонов $x$, поэтому кажется бессмысленным их складывать… и тем не менее, если их сложить, получается точная формула суммы конечной геометрической прогрессии: $$ \frac{x^n}{1-x}+\frac{x^m}{1-x^{-1}}= \frac{x^n}{1-x}+\frac{x^{m+1}}{x-1}= \frac{x^n-x^{m+1}}{1-x}= x^n+\ldots+x^m. $$ Это частный случай теоремы Бриона.
