|
|
 |
Условие
Петя покрасил 100 натуральных чисел в красный цвет и 100 других натуральных чисел — в синий. Вася выписал на доску 200 выражений: для каждого красного числа n записал xn1−x, а для каждого синего числа m записал xm1−x−1. После этого мальчики сложили все записанные выражения, привели подобные и упростили выражение. Докажите, что у них получился многочлен от x.
Решение
Решение 1. Заметим, что xn1−x=xn−11−x+11−x=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+1)1−x+11−x= =−(xn−1+xn−2+⋯+1)+11−x. В свою очередь, xm1−x−1=xm+1x−1=xm+1−1x−1+1x−1= =(x−1)(xm+xm−1+⋯+1)x−1+1x−1=xm+xm−1+⋯+1−11−x. Таким образом, 100 слагаемых, соответствующих красным числам, в сумме дадут некоторый многчлен и 100⋅11−x, а 100 слагаемых, соответствующих синим числам — многочлен и (−100)⋅11−x. То есть 100 «красных» дробей и 100 «синих» дробей взаимно уничтожатся, и останется только многочлен.
Решение 2. Разобъём 200 чисел на 100 пар, в каждой паре одно число — красное, другое — синее. Посмотрим на сумму выражений, соответствующих красному числу n и синему m: xn1−x+xm1−x−1=xn1−x−xm+11−x=xn−xm+11−x={xn+…+xm,m⩾ Таким образом, сумма выражений каждой пары синего и красного числа — это многочлен, а значит, и после приведения подобных и упрощения получится многочлен.
Комментарий. Если |x|<1, то сумма бесконечной геометрической прогрессии x^n+x^{n+1}+ \dots равна \frac{x^n}{1-x}. Поэтому, если число x достаточно маленькое (и m>n), то x^n+x^{n+1}+\ldots+x^m\approx \frac{x^n}{1-x}. Если, наоборот, число x достаточно большое, то можно оценить ту же сумму по-другому: x^m+x^{m-1}+\ldots+x^n \approx x^m+x^{m-1}+\ldots = \frac{x^m}{1-x^{-1}}. Эти два приближенных ответа получены для совершенно разных диапазонов x, поэтому кажется бессмысленным их складывать… и тем не менее, если их сложить, получается точная формула суммы конечной геометрической прогрессии: \frac{x^n}{1-x}+\frac{x^m}{1-x^{-1}}= \frac{x^n}{1-x}+\frac{x^{m+1}}{x-1}= \frac{x^n-x^{m+1}}{1-x}= x^n+\ldots+x^m. Это частный случай теоремы Бриона.
