Условие
В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. Окружность, проходящая через точки $C$ и $H$, повторно пересекает отрезки $AC$, $CB$ и $BH$ в точках $Q$, $P$ и $R$ соответственно. Отрезки $HP$ и $CR$ пересекаются в точке $T$. Что больше: площадь треугольника $CPT$ или сумма площадей треугольников $CQH$ и $HTR$?
Решение 1
Добавим к рассматриваемым площадям площадь треугольника $PTR$. Получим, что нужно проверить равенство
$$S_{CQH} + S_{HPR} = S_{CPR}.$$
Поскольку $\angle CHR = 90^\circ$, то $CR$ – диаметр проведённой окружности, откуда $\angle CQR = \angle CPR = 90^\circ$. В четырёхугольнике $CPRQ$ три угла прямые, поэтому он является прямоугольником.
Опустим из точки $H$ перпендикуляры $HX$ и $HY$ на прямые $CQ$ и $PR$ соответственно. Сумма их длин равна длине стороны $CP$ прямоугольника. Следовательно,
\begin{align*}
S_{CQH} + S_{HPR}
&= \frac{HX \cdot CQ}{2} + \frac{HY \cdot PR}{2} = \\
&= \frac{(HX + HY) \cdot PR}{2}
= \\ &=
\frac{XY \cdot PR}{2} =
\frac{CP \cdot PR}{2} = S_{CPR}.
% \qedhere
\end{align*}
Решение 2
Добавим к рассматриваемым площадям площадь четырёхугольника $BPTR$. Получим, что нужно проверить равенство
$$S_{CQH} + S_{BPH} = S_{BRC}.$$
Из вписанности $CPRH$ следует, что $\angle PHR = \angle PCR$. Поскольку $PQ$ – диаметр окружности, то $\angle PHQ = 90^\circ = \angle CHB$, поэтому
$$\angle CHQ = \angle PHR = \angle PCR.$$
Каждый из углов $HCQ$ и $CBH$ дополняет угол $BCH$ до $90^\circ$, поэтому
$$\angle HCQ = \angle PBH = \angle RBC.$$
Следовательно, треугольники $CQH$, $BPH$ и $BRC$ подобны по двум углам. Тогда площади этих треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому
\begin{align*}
S_{CQH} + S_{BPH}
&= \left( \frac{CH}{BC} \right)^2 \!\cdot S_{BRC} +
\left( \frac{BH}{BC} \right)^2 \!\cdot S_{BRC} = \\
&=
\frac{CH^2 + BH^2}{BC^2} \cdot S_{BRC} = S_{BRC}.
\end{align*}
Ответ
Они равны.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2024/25 |
|
Номер |
46 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
3 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
Номер |
88 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
3 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
Номер |
88 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
