Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал герцог Вычитатор. Оказалось, что если $x$ является числом Сумматора, а $y$ является числом Вычитатора, то $x+y$ является числом Сумматора, а $y - x$ является числом Вычитатора. Обязательно ли все числа Сумматора являются числами Вычитатора?
В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. Окружность, проходящая через точки $C$ и $H$, повторно пересекает отрезки $AC$, $CB$ и $BH$ в точках $Q$, $P$ и $R$ соответственно. Отрезки $HP$ и $CR$ пересекаются в точке $T$. Что больше: площадь треугольника $CPT$ или сумма площадей треугольников $CQH$ и $HTR$?
В Камелот съехались $100$ рыцарей Круглого Стола, любые два из которых либо дружат, либо враждуют (дружба и вражда взаимны). Фея Моргана может выбрать любого рыцаря и сделать так, что он поссорится со всеми своими друзьями и при этом подружится со всеми своими врагами. Накладывать это заклинание Моргана может сколько угодно раз. Докажите, что она сможет добиться того, чтобы в итоге образовались такие две группы по $5$ рыцарей, что каждый рыцарь из первой пятёрки будет враждовать с каждым рыцарем из второй.
Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$ и такой многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого числа $p$ и любого натурального $k$?
Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $CBH$ пересекает отрезок $CH$ в точке $X$, биссектриса угла $BCH$ пересекает отрезок $BH$ в точке $Y$. Обозначим величину угла $XA_1Y$ через $\alpha$. Аналогично определим $\beta$ и $\gamma$. Найдите значение суммы $\alpha + \beta + \gamma$.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 67455 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67451 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67456 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67457 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67454 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
