Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
На плоскости дан угол, образованный двумя лучами a и b, и
некоторая точка M.
Провести через точку M прямую c так, чтобы треугольник, образованный прямыми a, b и c, имел периметр данной величины.
Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.
К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна
внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из
которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей.
Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена
на прямой, соединяющей центры окружностей.
На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные
n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и
только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.
Десять человек захотели основать клуб. Для этого им необходимо собрать определённую сумму вступительных взносов. Если бы организаторов было на пять человек больше, то каждый из них должен был бы внести на 100 долларов меньше. Сколько денег внёс каждый?
Когда три подруги — Надя, Валя и Маша — вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадали. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.
Какое из чисел (10 двоек) или
(9 троек) больше? А если троек не 9, а 8?
|
|
 |
Условие
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.
Решение
Наиболее бесхитростное доказательство — индукцией по числу n автомашин — проводится так. Случай n=1 очевиден. Предположим, что для n машин утверждени е доказано. Пусть машин n+1. Тогда среди них найдется такая машина A, которая может, пользуясь лишь имеющимся в ней бензином, доехать до следующей машины B (это легко доказывается "от противного") Выльем из машины B бензин в A, и уберем B с дороги. Среди оставшихся n машин, по предположению индукции, найдется такая, которая может объехать всю дорогу, забирая по пути бензин у остальных автомашин. Ясно, что та же машина может сделать это и в первоначальной ситуации, когда на дороге n+1 машина: на участке от A до B у нее заведомо хватит бензина (из машины A), а на остальных участках у нее ровно столько же бензина, сколько в случае n машин.
Многие читатели заметили, что задача сводится к такой:
По окружности
выписано n чисел, сумма которых положительна; тогда найдется такое число,
что оно само положительно, сумма его со следующим положительна, сумма со
следующими двумя положительна и т.д. до суммы n-1 числа. (Достаточно
около каждой машины написать число, равное разности между количеством имеющегося
в ней бензина и количеством бензина, который нужен, чтобы доехать до следующей
машины.) Эту задачу большинство читателей решали методом, описанным в книжке
"Математические соревнования", ч.1 (Е.Б. Дынкин, С.А. Молчанов,
А.Л. Розенталь. Математические соревнования. Арифметика и алгебра, "Наука",
дополнительная серия "Библиотечки физико-математической школы"
вып.3(*), 1970., задачи 76-77).
Замечания
Ср. с задачей 73656.
