Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде p + n2k ни при каких простых p и целых n и k.
AB и AC — две хорды, образующие угол BAC, равный
70o.
Через точки B и C проведены касательные до пересечения в точке M.
Найдите
BMC.
Постройте хорду данной окружности, равную и параллельную заданному отрезку.
Петя и Вася играют в игру на клетчатой доске n×n (где n > 1). Изначально вся доска белая, за исключением угловой клетки – она чёрная, и в ней стоит ладья. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок передвигает ладью по горизонтали или вертикали, при этом все клетки, через которые ладья перемещается (включая ту, в которую она попадает), перекрашиваются в чёрный цвет. Ладья не должна передвигаться через чёрные клетки или останавливаться на них. Проигрывает тот, кто не может сделать ход; первым ходит Петя. Кто выиграет при правильной игре?
Что останется от прямоугольника?
Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны a и
b которого находятся в пропорции золотого сечения,
то есть удовлетворяют равенству
a : b = b : (a - b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из
бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной
стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший
квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова
золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола
так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и
поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим.
Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой
стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка
прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже
отсечена. Определите положение этой исключительной точки.
На плоскости дано множество S, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что S можно разбить на два множества X и Y так, что выпуклые оболочки conv X и conv Y имеют поровну вершин.
Для каждого натурального n обозначим через s(n) сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде m = n + s(n). (Например, число 117 не особое, поскольку 117 = 108 + s(108), а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?
|
|
 |
Условие
Для каждого натурального n обозначим через s(n) сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде m = n + s(n). (Например, число 117 не особое, поскольку 117 = 108 + s(108), а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?
Решение 1
Рассмотрим все целые числа от 1 до какого-то N. Среди них найдётся некоторое количество R(N) особых чисел (например, число 1 – особое). Остается показать, что, выбирая соответствующим образом N, можно получить сколь угодно большое R(N).
Первый способ. Ясно, что R(N) не меньше, чем количество таких n ≤ N, для которых n + s(n) > N.
Возьмём N = 1010k и докажем, что R(N) ≥ 10k. Рассмотрим число M = N – 10k = 9...90...0 (10k девяток и k нулей). Если M ≤ n < N, то
n + s(n) ≥ N – 10k) + 9·10k > N.
Второй способ. Ясно, что R(N) не меньше, чем количество таких пар чисел m < n ≤ N, для которых m + s(m) = n + s(n). Докажем, что
R(100k + 100) ≥ k. Действительно, при каждом целом a от 1 до k для чисел m = 1000a + 91 и n = 1000a + 100
m + s(m) = n + s(n) = 1000a + s(a) + 101.
Решение 2
Докажем, что бесконечная последовательность, заданная соотношениями: m0 = 9, mk = mk–1 + 10k + 1, состоит из особых чисел.
Сначала докажем, что 11·10k–1 < mk < 2·10k при k > 1. Левое неравенство очевидно, а правое проверяется по индукции:
mk = mk–1 + 10k + 1 < 2·10k–1 + 10k + 1 = 12·10k–1 + 1 < 2·10k.
Предположим, что в нашей последовательности есть неособое число; рассмотрим наименьший номер k, при котором mk = n + s(n). Заметим, что k ≥ 3, так так "особость" чисел m1 = 9 + 11 = 20 и m2 = 20 + 101 = 121 нетрудно проверить непосредственно.
Докажем, что 10k < n < 2·10k. Здесь правое неравенство очевидно, а левое доказывается от противного: если n < 10k, то
n + s(n) < 10k + 9k < 10k + 10k–1 = 11·10k–1 < mk (9k < 10k–1 при k ≥ 3).
Таким образом, десятичная запись числа n начинается с 1. Значит, число l = n – 10k получается из n отбрасыванием первой цифры. Следовательно, s(l) = s(n) – 1, и поэтому l + s(l) = n – 10k + s(n) – 1 = mk – 10k – 1 = mk–1. Противоречие, поскольку число mk–1 – особое.
Ответ
Неверно.
