Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.
Около окружности, радиус которой равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найдите периметр треугольника.
Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, причём CD = 8 и точка B лежит между точками C и D. Найдите площадь треугольника ACD.
Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади P1, P2, P3, P4. Докажите, что а) в правильном тетраэдре P1 ≤ P2 + P3 + P4; б) если S1, S2, S3, S4 — площади соответствующих граней тетраэдра, то P1S1 ≤ P2S2 + P3S3 + P4S4.
Найдите диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов прямоугольника со сторонами 1 и 3.
В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через противоположные вершины A1 , C и середину ребра D1C1 . Найдите расстояние от вершины D1 до плоскости P , если ребро куба равно 6.
Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см?
(Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться
|
|
 |
Условие
Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см?
(Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться
Решение
Как согнуть каркас из проволоки длины 150 см, показано на рисунке.
начинается и кончается в вершинах куба. Подсчитаем количество рёбер в этом каркасе. В каркасе есть ровно одна вершина, в которой проволока
начинается и одна, в которой проволока кончается (эти вершины могут и совпадать). Будем называть эти вершины концевыми, а все остальные –
проходными. Проволока, войдя в проходную вершину, обязательно должна из нее выйти. Значит, к такой вершине примыкает не меньше четырёх
рёбер. К концевой вершине примыкает не меньше трёх ребер. Поэтому всего рёбер не меньше чем (6·4 + 2·3) : 2 = 15. Таким образом, в каркасе
не меньше 15 рёбер, а так как длина одного ребра 10 см, то потребуется не менее 150 см проволоки.
Теперь нужно доказать, что если гнуть проволоку во внутренних точках рёбер, то все равно менее чем из 150 см проволоки каркаса сделать нельзя.
Для этого покажем, что, не увеличивая длины проволоки, любой каркас можно перестроить так, что все сгибы окажутся в вершинах. Мы не будем
описывать этого перестроения, а только приведём несколько поясняющих его картинок (см. рис.).
Ответ
150 см.
Замечания
Ср. с задачей 30432.
