Квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  таков, что уравнение  f(x) = x  не имеет вещественных корней.
Докажите, что уравнение  f(f(x)) = x  также не имеет вещественных корней.

   Решение

Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {a_n} имеет два различных корня x₁ и x₂. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

   Решение

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

   Решение

Из последовательности  a,  a + d,  a + 2d,  a + 3d, ...,  являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a/_d  рационально. Докажите это.

   Решение

На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а остальные — настоящие. Сможет ли он это сделать?

   Решение

Тема:    [ Взвешивания ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а остальные — настоящие. Сможет ли он это сделать?

Решение

На рис.4, а), б), в) показано, какими тремя взвешиваниями эксперт может убедить суд, что монеты ϕ₁ , ϕ₂ , ... , ϕ₇ – фальшивые, a H₁ , H₂ , ... , H₇ – настоящие. Каждый раз правая чашка перевешивает, а это возможно лишь в том случае, если фальшивых монет больше на левой чашке, чем на правой (а настоящих– на правой больше, чем на левой).

Этот способ легко обобщить, и тогда тот факт, что данные n монет– фальшивые, а другие n – настоящие, удается доказать, произведя [log _{_}a n]+1 взвешиваний. Несмотря на то, что такая система взвешиваний очень экономна (при n=1000 достаточно 10 взвешиваний), мы не можем доказать, что она оптимальна. Интересно было бы доказать, что минимальное число взвешиваний вес же растет неограниченно при n (или опровергнуть это).

Источники и прецеденты использования