Версия для печати
Убрать все задачи

---

На острове живут два племени  — аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы  — всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном. Кем был проводник  — аборигеном или пришельцем?

   Решение

---

В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через точку D и середины рёбер A1D1 и C1D1 . Найдите расстояние от середины ребра AA1 до плоскости P , если ребро куба равно 2.

   Решение

---

При каких натуральных  n ≥ 2  неравенство     выполняется для любых действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, если
  а)  p = 1;
  б)  p = ⁴/₃;
  в)  p = ⁶/₅?

   Решение

Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Замена переменных ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

При каких натуральных  n ≥ 2  неравенство     выполняется для любых действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, если
  а)  p = 1;
  б)  p = ⁴/₃;
  в)  p = ⁶/₅?

Решение

  Заметим, что если положить в неравенстве     несколько последних переменных x_k, x_k+1, ..., x_n равными нулю, то получится аналогичное неравенство, соответствующее меньшему n . Отсюда следует, что если (*) выполняется (для всех x₁, x₂, ..., x_n) при некотором n , то оно выполняется и при меньших n. Таким образом, для каждого фиксированного p существует таксе целое  N(p) ≥ 2,  что (*) выполнено при  n < N(p)  и не выполнено (для некоторых x₁, x₂ , ..., x_n) при  n ≥ N(p);  возможно также, что (*) выполнено при всех n (в этом случае можно считать, что  N(p) = ∞).

  а) При  p = 1  неравенство (*) эквивалентно очевидному неравенству    . Значит,  N(1) = ∞.

  б) При  p = ⁴/₃  и  n = 3  неравенство (*) эквивалентно неравенству     а при  n = 4  неравенство (*) нарушается, например, когда  x₁ = x₄ = 2,   x₂ = x₃ = 3.

  в) При  p = ⁶/₅  и  n = 4  (*) эквивалентно неравенству   а при  n = 5  оно нарушается, например, когда  x₁ = x₅ = 9,  x₂ = x₄ = 15,  x₃ = 16.

Ответ

а) При всех n;   б) при  n ≤ 3;   в) при  n ≤ 4.

Замечания

  1. В п. б) при n = 4 неравенство (*) эквивалентно такому:     отсюда и возник наш пример. В п. в) пример также возникает естественным образом, если преобразовать (*) к виду  

  2. Легко показать, что N(p) бесконечно при  p ∈ [0, 1]  и конечно при  p > 1,  причём  N(p) = 2  при  p > 2.
  В принципе при каждом  p > 1  можно найти N(p), преобразовав левую часть (*) к сумме квадратов (заботиться о симметричности формул и о том, чтобы коэффициенты получались целыми или рациональными, вовсе не обязательно). Например, можно привести (*) к виду     последовательно полагая  
(s₁ = 1,  k = 1, 2, ...).  Тогда     при  n < N(p)  и  r_n < 0  при  n = N(p).  Таким образом,  N(p) – 1  (наибольшее n, при котором (*) ещё выполняется) равно числу ступеней "лестницы", заключенной между графиками  s² + t² = 1,  st = ^p/₂  и начинающейся в точке  s = 1,  t = 0,  (см. рис.; чем ближе p к единице, тем ближе расположена гипербола к окружности и тем больше ступеней имеет лестница).

  Пусть p_k – значение p, при котором лестница симметрична относительно биссектрисы  s = t  (заканчивается в точке  s = 0,  t = 1)  и содержит k ступеней; ясно, что последовательность  p₁ = 2 > p₂ > p₃ > ...   стремится к 1 и  N(p) = k + 1  при  p_k–1 ≥ p > p_k.  Нетрудно доказать, что     но следующие p_k находятся уже из громоздких уравнений, сводящихся к алгебраическим уравнениям высокой степени.
  Поскольку  N(⁴/₃) = 4,  N(⁶/₅) = 5,  то  p₂ > ⁴/₃ > p₃ > ⁶/₅ > p₄.

Источники и прецеденты использования