Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n₁, n₂, ..., n_k и отдельно сообщит значение выражения  P(n₁)P(n₂)...P(n_k).  По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?

   Решение

На плоскости дано n3 точек. Пусть d — наибольшее расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется не более n пар точек, расстояние между которыми равно d.

   Решение

Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите острый угол и большее основание трапеции, если меньшее основание равно 3, а высота трапеции равна 2.

   Решение

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

   Решение

Найти все такие натуральные n, для которых числа ¹/_n и ¹/_n+1 выражаются конечными десятичными дробями.

   Решение

Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

   Решение

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

Решение

  Пусть  a,  a + d,  a + 2d,  a + 3d  – искомая арифметическая прогрессия,  b, bq, bq², bq³  – искомая геометрическая прогрессия. По условию
a + b = 27,  a + d + bq = 27,  a + 2d + bq² = 39,  a + 3d + bq³ = 87.
  Вычтем из второго уравнения первое, из третьего второе, из четвёртого третье:  d + b(q – 1) = 0,  d + bq(q – 1) = 12,  d + bq²(q – 1) = 48.
  Из первого уравнения получаем  b(q – 1) = – d;  подставим это выражение во второе и третье уравнения:  d – dq = 12,  d – dq² = 48.
  Поделив последнее уравнение на предпоследнее, получим  1 + q = 4,  то есть  q = 3.  Следовательно,  d = – 6,  b = 3  и  a = 24.

Ответ

24, 18, 12, 6  и  3, 9, 27, 81.

Источники и прецеденты использования