Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Какое наибольшее количество множителей вида можно вычеркнуть в левой части уравнения
так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?
На плоскости расположено несколько непересекающихся отрезков.
Всегда ли можно соединить концы некоторых из них отрезками так,
чтобы получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная?
|
|
 |
Условие
Построить окружность, равноудалённую от четырёх точек плоскости. Сколько
решений имеет задача?
Решение
Ответ: 7 решений (в невырожденном случае).
Пусть A, B, C, D — данные точки, S — искомая окружность. По одну
сторону от S лежит k данных точек, по другую сторону лежит 4 - k данных
точек. Мы будем предполагать, что данные точки не лежат на одной окружности
(иначе в качестве S можно взять любую окружность с тем же центром; получается
бесконечно много решений). Таким образом,
1k
3. Мы получаем два
существенно различных расположения точек по отношению к S: 2 + 2 и 1 + 3.
Пусть сначала точки A и B лежат по одну сторону от окружности S, а
точки C и D — по другую. Центром окружности S является точка O
пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD. Радиус
окружности S равен среднему арифметическому длин отрезков OA и OC.
Четыре точки можно разбить на пары тремя способами, поэтому мы получаем 3
решения.
Пусть теперь точки A, B и C лежат по одну сторону от окружности S,
а точка D — по другую. Проведём через точки A, B и C окружность.
Пусть O и R — её центр и радиус. Точка O является центром искомой
окружности, а радиус искомой окружности равен среднему арифметическому R и
OD. Одну точку из четырёх можно выбрать четырьмя способами, поэтому мы
получаем 4 решения.
