Задача 77941

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Докажите, что если ортоцентр делит высоты треугольника в одном и том же отношении, то этот треугольник — правильный.

Решение

Пусть H — точка пересечения высот AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC. По условию A₁H ^. BH = B₁H ^. AH. С другой стороны, так как точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром AB, то A₁H ^. AH = B₁H ^. BH. Следовательно, AH = BH и A₁H = B₁H, а значит, AC = BC. Аналогично BC = AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	15
Год	1952
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	1