Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали $k$ умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полученных $k$ чисел нет
цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое можно $k$ раз умножить на 2, и снова ни в одном числе не будет цифры 7 в его десятичной записи.
99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.
Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.
а) Существует ли последовательность натуральных чисел a1, a2, a3, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и an ≤ n10 при любом n?
б) Тот же вопрос, если an ≤ n при любом n.
Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.
В трёхгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке O.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к
прямой SO.
|
|
 |
Условие
В трёхгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке O.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к
прямой SO.
Решение
Пусть A, B и C – точки касания сферы с гранями. Радиус OA перпендикулярен касательной SA, поэтому ∠SAO = 90°. Аналогично ∠SBO = ∠SCO = 90°. В прямоугольных треугольниках SAO, SBO и SCO катеты AO, BO и CO равны (они равны радиусу сферы), поэтому равны и сами треугольники. Следовательно, проекции вершин A, B и C на гипотенузу SO совпадают. Но это и означает, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABC.
