Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Лифшиц Ю.

В клубе встретились двадцать джентльменов. Некоторые из них были в шляпах, а некоторые – без шляп. Время от времени один из джентльменов снимал с себя шляпу и надевал её на одного из тех, у кого в этот момент шляпы не было. В конце десять джентльменов подсчитали, что каждый из них отдавал шляпу большее количество раз, чем получал. Сколько джентльменов пришли в клуб в шляпах?

Вниз   Решение

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.

ВверхВниз   Решение

Автор: Дольников В.Л.

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC высота AH равна h, $ \angle$BAC = $ \alpha$, $ \angle$BCA = $ \gamma$. Найдите площадь треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

Если дан ряд из 15 чисел

a1, a2,..., a15, (1)

то можно написать второй ряд

b1, b2,..., b15, (2)

где bi(i = 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших ai. Существует ли ряд чисел ai, если дан ряд чисел bi:

1, 0, 3, 6, 9, 4, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 10, 13, 13?

Вверх   Решение

Задача 78019
Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Обратный ход ]
[ Последовательности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Если дан ряд из 15 чисел

a1, a2,..., a15, (1)

то можно написать второй ряд

b1, b2,..., b15, (2)

где bi(i = 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших ai. Существует ли ряд чисел ai, если дан ряд чисел bi:

1, 0, 3, 6, 9, 4, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 10, 13, 13?


Решение

Ответ: нет, не существует. Предположим, что требуемый ряд чисел ai существует. При перестановке чисел ai числа bi переставляются точно так же. Кроме того, если числа ai расположены в порядке возрастания, то числа bi тоже расположены в порядке возрастания. Пусть $ \alpha_{1}^{}$, ..., $ \alpha_{15}^{}$ — это числа a1, ..., a15, расположенные в порядке возрастания, а $ \beta_{1}^{}$, ..., $ \beta_{15}^{}$ -- числа b1, ..., b15, расположенные в порядке возрастания, т.е. $ \beta_{1}^{}$, ..., $ \beta_{15}^{}$ — это последовательность

0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 13.

Из того, что $ \beta_{1}^{}$ = 0, $ \beta_{2}^{}$ = 1, $ \beta_{3}^{}$ = 2, $ \beta_{4}^{}$ = 3, $ \beta_{5}^{}$ = 4, $ \beta_{6}^{}$ = 5 и $ \beta_{7}^{}$ = 5, следует, что $ \alpha_{1}^{}$ < $ \alpha_{2}^{}$ < $ \alpha_{3}^{}$ < $ \alpha_{4}^{}$ < $ \alpha_{5}^{}$ < $ \alpha_{6}^{}$ = $ \alpha_{7}^{}$. В таком случае если $ \alpha_{7}^{}$ = $ \alpha_{8}^{}$, то $ \beta_{8}^{}$ = 5, а если $ \alpha_{7}^{}$ < $ \alpha_{8}^{}$, то $ \beta_{8}^{}$ = 7. А у нас $ \beta_{8}^{}$ = 6. Приходим к противоречию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 4
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .