Версия для печати
Убрать все задачи

---

Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?

   Решение

---

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, H — точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² - OH².

   Решение

---

Даны два многочлена P(x) и Q(x) положительной степени, причём  P(P(x)) ≡ Q(Q(x))  и  P(P(P(x))) ≡ Q(Q(Q(x))).
Обязательно ли тогда  P(x) ≡ Q(x)?

   Решение

---

На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?

   Решение

---

Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно 1 + n + ((P) - 1), причем среди этих частей 2n неограниченных.

   Решение

---

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

   Решение

---

На плоскости даны 9 точек (см. рисунок). Перечеркните их все четырьмя прямыми отрезками, не отрывая карандаша от бумаги.

   Решение

---

Докажите, что  S = r_c²tg(/2)tg(/2)ctg(/2).

   Решение

---

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа , , ..., тоже различны между собой. Найти все такие a.

   Решение

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа , , ..., тоже различны между собой. Найти все такие a.

Решение

Ответ: | a|. Числа [x] и [y] различны тогда и только тогда, когда числа [- x] и [- y] различны. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда a > 0. Если a < , то среди чисел [a], [2a], ..., [Na] есть совпадающие, поскольку эти N чисел содержатся среди N - 1 чисел 0, 1, ..., N - 2. Поэтому a. Те же самые рассуждения для числа 1/a показывают, что , т.е. a. Покажем, что если a, то все числа [a], [2a], ..., [Na] различны. Действительно, если a1, то вообще все числа [a], [2a], [3a], ...различны, а если a < 1, то 1 - a < 1, 2 - 2a < 2, ..., N - 1Na < N, поэтому [ka] = k - 1 для k = 1, 2, ..., N. Для чисел , , ..., рассуждения аналогичны.

Источники и прецеденты использования