Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что если  ∠A = 45°,  то B₁C₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника ABC.

   Решение

---

На сторонах квадрата, как на основаниях, построены во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся фигуру нельзя разбить на параллелограммы.

   Решение

---

Дано n целых чисел  a₁ = 1,  a₂, a₃, ..., a_n, причём   a_i ≤ a_i+1 ≤ 2a_i  (i = 1, 2,..., n – 1)  и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?

   Решение

---

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A₁, B₁ и C₁, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны и прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Числа 1, 2, ..., k² расположены в квадратную таблицу

Произвольное число выписывается, после чего из таблицы вычеркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей из  (k – 1)²  чисел и т.д. k раз. Найти сумму выписанных чисел.

   Решение

---

На плоскости P стоит прямой круговой конус. Радиус основания r, высота — h. На расстоянии H от плоскости и l от высоты конуса находится источник света. Какую часть окружности радиуса R, лежащей в плоскости P и концентрической с окружностью, лежащей в основании конуса, осветит этот источник?

   Решение

Тема:    [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости P стоит прямой круговой конус. Радиус основания r, высота — h. На расстоянии H от плоскости и l от высоты конуса находится источник света. Какую часть окружности радиуса R, лежащей в плоскости P и концентрической с окружностью, лежащей в основании конуса, осветит этот источник?

Решение

Рассмотрим сначала случай, когда H > h. Пусть S — вершина конуса, S' — точка пересечения плоскости основания конуса с прямой, проходящей через точку S и источник света. Покажем, что тень от конуса представляет собой фигуру, заштрихованную на рис. (а). Действительно, если A — точка основания конуса, то тень отрезка SA — это отрезок S'A. Аналогичные рассуждения показывают, что если H = h, то тень — это множество, изображённое на рис. (б), а если H < h, то то тень — это множество, изображённое на рис. (в). Несложные вычисления с подобными треугольниками показывают, что расстояние от точки S' до центра конуса равно = s. Пусть cos = r/R и cos = r/S. При H > h угловая величина неосвещённой дуги равна - ; при H = h она равна - ; при H < h она равна - ( + ).

Источники и прецеденты использования