Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней.
Докажите, что уравнение f(f(x)) = x также не имеет вещественных корней.
Подряд выписаны n чисел, среди которых есть положительные и отрицательные. Подчеркивается каждое положительное число, а также каждое число, сумма которого с несколькими непосредственно следующими за ним числами положительна. Докажите, что сумма всех подчеркнутых чисел положительна.
Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или симметричны, то все грани этой пирамиды равны.
|
|
 |
Условие
Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или
симметричны, то все грани этой пирамиды равны.
Решение
Рассмотрим развёртку данной пирамиды. Она представляет собой треугольник ABC, к которому приложены треугольники ABDC, BCDA, CADB. Из условия следует, что следующие 4 величины равны: суммы троек углов при вершинах A, B и C и сумма углов при вершинах DA, DB, DC. Значит, каждая из этих сумм равна 180o, поскольку сумма всех 12 рассматриваемых углов представляет собой сумму углов четырёх треугольников. В итоге получаем, что развёртка представляет собой треугольник, в котором проведены три средние линии (мы воспользовались здесь тем, что ADB = ADC, BDA = BDC, CDA = CDB). Средние линии разбивают треугольник на 4 равных треугольника, поэтому грани пирамиды равны.
