Около треугольника ABC описана окружность. Пусть AD и BE — параллельные хорды. Известно, что отрезки BC и AD пересекаются, ECD = и BAC = 2ABC. Найдите отношение периметра треугольника ABC к радиусу вписанной в него окружности.

   Решение

Король Артур хочет заказать кузнецу новый рыцарский щит по своему эскизу. Король взял циркуль и нарисовал три дуги радиусом $1$ ярд так, как показано на рисунке. Чему равняется площадь щита? Ответ округлите до сотых. Напомним, что площадь круга радиуса $r$ равна $\pi r^2$, $\pi\approx 3,14$.

   Решение

Какое наибольшее количество граней n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию?

   Решение

Доказать без помощи таблиц, что

+ > 2.

   Решение

а) Можно ли квадрат 6×6 замостить костями домино 1×2 так, чтобы не было к швак, т. е. прямой, не разрезающей костей?
б) Докажите, что любой прямоугольник m×n, где m и n больше 6 и mn четно, можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.
в) Докажите, что прямоугольник 6×8 можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.

   Решение

Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Площадь описанного круга в 12 раз больше площади вписанного круга. Найдите углы трапеции.

   Решение

Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа a, b, α и β, чтобы прямоугольник размером a×b можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером
а) 20×15;   б) 5×8;   в) 6,25×15;   г)  

   Решение

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в точке D так, что AD : DB = 1 : 4. Найдите высоту, опущенную из вершины C прямого угла на гипотенузу, если известно, что катет BC равен 10.

   Решение

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

   Решение

Прямоугольник покрыт в два слоя карточками 1×2 (над каждой клеткой лежат ровно две карточки). Докажите, что карточки можно разбить на два непересекающихся множества, каждое из которых покрывает весь прямоугольник.

   Решение

Пусть представление числа n в двоичной системе выглядит следующим образом:   n = 2^e₁ + 2^e₂ +...+ 2^e_r   (e₁ > e₂ > ... > e_r ≥ 0).
Докажите, что n! делится на 2^n–r, но не делится на 2^n–r+1.

   Решение

Даны две треугольные пирамиды ABCD и A'BCD с общим основанием BCD, причем точка A' лежит внутри пирамиды ABCD. Доказать, что сумма плоских углов при вершине A' пирамиды A'BCD больше суммы плоских углов при вершине A пирамиды ABCD.

   Решение

Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство: R2r (R и r — радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство R = 2r имеет место только для правильного треугольника.

   Решение

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Решение

Пусть K, L, M и N — вершины правильных треугольников, построенных на сторонах BC, AB, AF и  FE; B₁, A₁ и F₁ — середины отрезков KL, LM и  MN (рис.???). Пусть, далее, = = , = и  = ; R — поворот на 60^o, переводящий вектор в  . Тогда = - R² и  = - R². Поэтому 2 = R² + R + и  2 = R² - + R, т. е. = R().

Источники и прецеденты использования