Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что натуральные числа n и n2017 оканчиваются на одну и ту же цифру.
На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что MN || AB. На стороне AC отмечена точка K так, что CK = AM. Отрезки AN и BK пересекаются в точке F. Докажите, что площади треугольника ABF и четырёхугольника KFNC равны.
Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля? ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)
Есть 100 коробок, пронумерованных числами от 1 до 100. В одной коробке лежит приз и ведущий знает, где он находится. Зритель может послать ведущему пачку записок с вопросами, требующими ответа "да" или "нет". Ведущий перемешивает записки в пачке и, не оглашая вслух вопросов, честно отвечает на все. Какое наименьшее количество записок нужно послать, чтобы наверняка узнать, где находится приз?
В окружности с центром O проведена хорда AB и радиус OK, пересекающий её под прямым углом в точке M. На большей дуге AB окружности выбрана точка P, отличная от середины этой дуги. Прямая PM вторично пересекает окружность в точке Q, а прямая PK пересекает AB в точке R. Докажите, что KR > MQ.
На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA как на диаметрах построены полуокружности S1, S2, S3 по одну сторону от AC.
Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей, если известно, что её центр удален от прямой AC на расстояние a.
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b – 1.
Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
Мудрецу С. сообщили сумму трёх натуральных чисел, а мудрецу П. – их
произведение.
– Если бы я знал, – сказал С., – что твоё число больше, чем моё, я бы сразу назвал три искомых числа.
– Мое число меньше, чем твоё, – ответил П., – а искомые числа ..., ... и ... .
Какие числа назвал П.?
В треугольнике PQR угол QRP равен 60o. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR.
В треугольнике ABC расположены три окружности равных
радиусов так, что каждая из окружностей касается двух
сторон треугольника. Одна из окружностей (с центром
O1) касается двух других (с центрами O2 и
O3 соответственно) и
O2O1O3 = 90o.
Установите, что больше: площадь круга, ограниченного окружностью
с центром O1, или пятая часть площади треугольника ABC?
На равных сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что AC = CM и MN = NB. Высота треугольника, проведенная из вершины B, пересекает отрезок CM в точке H. Докажите, что NH – биссектриса угла MNC.
Число A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2A = a1 + a2 + ... + ak, то из чисел a1, a2, ..., ak можно выбрать часть, сумма которых равна A.
|
|
 |
Условие
Число A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2A = a1 + a2 + ... + ak, то из чисел a1, a2, ..., ak можно выбрать часть, сумма которых равна A.
Решение
Заметим, что 2A ≥ 2·НОК(2, ..., 9) = 2·2520 > 4500. Поэтому найдётся такое n = 1, 2, ..., 9 , что среди наших чисел найдутся несколько, равных n, с суммой не меньше 100 (иначе сумма всех чисел не превышает 100·(1 + ... + 9) = 4500). Отметим минимальное количество таких чисел n, обеспечивающих сумму, большую 90; поскольку среди чисел от 91 до 99 найдутся кратные любому из чисел 1, ..., 9, сумма отмеченных чисел меньше 100. Неотмеченные числа разобьём на группы по n штук так, чтобы в каждой группе все числа были равны (сумма чисел в каждой группе кратна n и не больше 81). При этом могут остаться "лишними" не более восьми чисел каждой величины – в противном случае из них можно выделить ещё одну группу из n чисел. Общая сумма лишних и отмеченных чисел не превосходит 8·(1 + ... + 9) + 100 < A, поэтому общая сумма чисел в группах больше A. Будем складывать эти группы, добавляя каждый раз по одной, пока сумма не превысит A. Убрав последнюю группу, мы получим (поскольку A кратно n) сумму вида A – mn, где 0 ≤ m ≤ 9. Недостаток mn можно дополнить, взяв m отмеченных чисел (столько отмеченных чисел найдётся, так как их сумма больше 81 ≥ mn).
