Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника ABC,
q – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что p : q = R : r, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.
AB — диаметр окружности, BC и CDA — касательная и секущая. Найдите отношение CD : DA, если BC равно радиусу окружности.
В трапеции ABCD основание AB = a, основание CD = b (a < b). Окружность, проходящая через вершины A, B и C, касается стороны AD.
Найдите диагональ AC.
Дано число x, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство
Докажите, что две непересекающиеся окружности S1 и S2
(или окружность и прямую) можно при помощи
инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?
Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические
центры треугольника переходят друг в друга.
Найдите количество перестановок a1, a2, ... , a10 чисел 1,2,...,10, таких, что ai+1 не меньше, чем ai-1 (для i=1,2,...,9).
Из точки O на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может, один вектор), длина суммы которых больше 1.
|
|
 |
Условие
Из точки O на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых
равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может,
один вектор), длина суммы которых больше 1.
Решение
Отложим все векторы a1, a2, ..., an из одной точки O; проведём ещё через O две взаимно перпендикулярные прямые xx1 и yy1, направления которых отличны от направлений любого из векторов (рис. 40). Сумма длин проекций векторов a1, a2, ..., an на прямые xx1 и yy1 будет больше 4 (ибо сумма длин проекций вектора на две взаимно перпендикулярные прямые не может быть меньше длины вектора и равна его длине лишь для вектора, направление которого совпадает с направлением одной из этих прямых). Поэтому хотя бы для одного из четырёх лучей Ox, Ox1, Oy и Oy1 сумма длин проекций на этот луч тех векторов, которые на него проектируются (т. е. тех векторов, направление проекций которых на соответствующую прямую совпадает именно с этим лучом, а не с противоположным) больше 1; пусть это будет, скажем, луч Ox. Рассмотрим теперь отобранную таким путем группу векторов — некоторые из векторов a1, a2, ..., an, сумма длин проекций которых на луч Ox больше 1; так как проекция их суммы равна сумме длин их проекций (вот здесь используется то, что проекции на прямую x1x всех этих векторов направлены в одну сторону!) и не больше длины суммы этих векторов, то длина суммы рассматриваемых векторов превосходит 1. Это и доказывает утверждение задачи.
