Информация о задаче

Задача 78625

Темы:	[	Метрические соотношения (прочее)	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

Решение

Предположим, что на сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABB₁A₁, BCC₂B₂, ACC₃A₃ и вершины A₁, B₁, B₂, C₂, C₃, A₃ лежат на одной окружности S. Серединные перпендикуляры к отрезкам A₁B₁, B₂C₂, A₃C₃ проходят через центр окружности S. Ясно, что серединные перпендикуляры к отрезкам A₁B₁, B₂C₂, A₃C₃ совпадают с серединными перпендикулярами к сторонам треугольника ABC, поэтому центр окружности S совпадает с центром описанной окружности треугольника. Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O. Расстояние от точки O до прямой B₂C₂ равно R cos A + 2R sin A, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Поэтому OB₂² = (R sin A)² + (R cos A+2R sin A)² = R²(3 + 2(sin 2A - cos 2A)) = R²(3 - 2 $\sqrt{2}$ cos(45^o + 2A)). Ясно, что для того, чтобы треугольник обладал требуемым свойством, необходимо и достаточно, чтобы OB₂² = OC₃² = OA₁², т. е. cos(45^o + 2 $\angle$ A) = cos(45^o + 2 $\angle$ B) = cos(45^o+2 $\angle$ C). Это равенство выполняется при $\angle$ A = $\angle$ B = $\angle$ C = 60^o. Если же $\angle$ A $\ne$ $\angle$ B, то (45^o + 2 $\angle$ A) + (45^o + 2 $\angle$ B) = 360^o, т. е. $\angle$ A + $\angle$ B = 135^o. Тогда $\angle$ C = 45^o и $\angle$ A = $\angle$ C = 45^o, $\angle$ B = 90^o (или $\angle$ B = 45^o, $\angle$ A = 90^o). Мы видим, что треугольник должен быть либо равносторонним, либо равнобедренным прямоугольным.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	3


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	2