Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника является диаметром.
Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

   Решение

В треугольнике ABC угол A прямой, катет AB равен a, радиус вписанной окружности равен r . Вписанная окружность касается катета AC в точке D.
Найдите хорду, соединяющую точки пересечения окружности с прямой BD.

   Решение

На хорде AB окружности K с центром в точке O взята точка C. D — вторая точка пересечения окружности K с окружностью, описанной около ACO. Доказать, что CD = CB.

   Решение

В треугольнике DEF проведена медиана DK. Найдите углы треугольника, если  ∠KDE = 70°,  ∠DKF = 140°.

   Решение

Один раз рыбак забросил в пруд сеть и вытащил 30 рыб. Пометив каждую рыбу меткой, он выпустил улов обратно в пруд. На следующий день рыбак снова забросил сеть и вытащил 40 рыб, среди которых были две помеченные. Как по этим данным приблизительно вычислить число рыб в пруду?

   Решение

Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как  2 : 1,  считая от вершины. В каком отношении она делит боковые стороны?

   Решение

С числом 123456789101112...9989991000 производится следующая операция: зачёркиваются две соседние цифры a и b (a стоит перед b) и на их место вставляется число a + 2b (можно в качестве a взять нуль, ``стоящий'' перед числом, а в качестве b — первую цифру числа). С полученным числом производится такая же операция и т.д. (Например, из числа 118 307 можно на первом шаге получить числа 218 307, 38 307, 117 307, 111 407, 11 837, 118 314.) Доказать, что таким способом можно получить число 1.

   Решение

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

С числом 123456789101112...9989991000 производится следующая операция: зачёркиваются две соседние цифры a и b (a стоит перед b) и на их место вставляется число a + 2b (можно в качестве a взять нуль, ``стоящий'' перед числом, а в качестве b — первую цифру числа). С полученным числом производится такая же операция и т.д. (Например, из числа 118 307 можно на первом шаге получить числа 218 307, 38 307, 117 307, 111 407, 11 837, 118 314.) Доказать, что таким способом можно получить число 1.

Решение

Мы будем доказывать утверждение задачи для любого числа  . Докажем для этого, что любое число можно уменьшить за несколько операций. Сначала докажем это для чисел, не меньших десяти. Рассмотрим первые две цифры  этого числа. Если  ≠ 19, то число можно уменьшить заменой первых двух цифр на число a + 2b. Если же  = 19, то число можно уменьшить последовательностью действий 19 29 20 2. Итак, любое число, не меньшее десяти, можно уменьшить. Осталось доказать, что из любого числа от двух до девяти можно получить единицу. Мы покажем, как последовательностью разрешённых операций из любого однозначного числа получить либо единицу, либо число, из которого мы уже умеем получать единицу.
5 10 1;
6 12 5;
3 6;
9 18 17 15 11 3;
7 14 9;
8 16 13 7;
4 8;
2 4.

Источники и прецеденты использования