Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  p + n^2k  ни при каких простых p и целых n и k.

   Решение

Вычислите
  а)  cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉;
  б)  cos ^π/₇ + cos ^3π/₇ + cos ^5π/₇.

   Решение

Число рёбер многогранника равно 100.
  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
  в) но не может равняться 100.

   Решение

Темы:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

Решение

Ответ: можно получить ровно 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов, а сделав меньшее число разрезов, 100 двадцатиугольников получить нельзя. При каждом разрезании общее число кусков бумаги увеличивается на 1 (так как один кусок пропадает и появляются два новых), поэтому после n разрезов будет (n + 1) кусков бумаги. Подсчитаем теперь, каким может быть общее число вершин во всех кусках вместе после n разрезов. При каждом разрезании общее число вершин увеличивается либо на 2 (если резали через две вершины), либо на 3 (если резали через вершину и сторону), либо на 4 (если резали через 2 стороны). Так как сначала было 4 вершины, то после n разрезов во всех кусках вместе будет не больше чем 4n + 4 вершины. Предположим, что после N разрезов получилось 100 двадцатиугольников. Так как при этом общее число полученных кусков будет N + 1, то, кроме этих двадцатиугольников, будет ещё N + 1 - 100 кусков. Каждый из этих кусков будет иметь не меньше трёх вершин, поэтому общее число вершин во всех кусках будет не меньше чем 100 ^. 20 + (N - 99) ^. 3. Как было доказано раньше, это число не больше чем 4N + 4. Значит, 4N + 4 ≥ 100 · 20 + (N − 99)·3 = 3N + 1703, откуда N ≥ 1699. Итак, мы доказали, что нельзя получить 100 двадцатиугольников, сделав меньше чем 1699 разрезов. Это основная и самая трудная часть доказательства.
Покажем теперь, как можно получить 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов. Вот один из способов: разрежем квадрат на 100 прямоугольников (99 разрезов) и каждый прямоугольник за 16 разрезов превратим в двадцатиугольник, отрезая от углов треугольники (1600 разрезов). Всего будет 1699 разрезов.

Ответ

Можно получить ровно 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов, а сделав меньшее число разрезов, 100 двадцатиугольников получить нельзя.

Источники и прецеденты использования