Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?
Доказать, что при любом целом положительном n сумма
больше ½.
Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает
значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.
В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если ∠AOB = α, а радиус круга равен r.
Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n2 равна 100?
Доказать, что число 100...001, в котором 21974 + 21000 – 1 нулей, составное.
В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30o. Доказать, что треугольник ABC правильный.
|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны
30o. Доказать, что треугольник ABC правильный.
Решение
Так как
EAD =
EBD = 30o, точки A, E, D и B
лежат на одной окружности S, причём если O — её центр,
то
EOD = 60o. Точка C симметрична A относительно
точки E, поэтому она лежит на окружности S1, симметричной
окружности S относительно точки E. Аналогично точка C лежит на
окружности S2, симметричной окружности S относительно точки D.
Так как треугольник EOD правильный, центры окружностей S, S1
и S2 образуют правильный треугольник со стороной 2R, где R — радиус
этих окружностей. Поэтому окружности S1 и S2 имеют единственную общую
точку C, причём треугольник CED правильный. Следовательно, треугольник
ABC тоже правильный.
