Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса
прямого угла CL. Из вершины A (
A > 45o) на
CL опущен перпендикуляр AD. Найдите площадь треугольника
ABC, если AD = a, CL = b.
A', B', C', D', E' — середины сторон выпуклого пятиугольника ABCDE. Доказать, что площади пятиугольников ABCDE и A'B'C'D'E' связаны соотношением:
На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1 так, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются
в точке H.
Докажите, что AH·A1H = BH·B1H = CH·C1H
тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.
Пусть O — центр правильного треугольника ABC, сторона которого равна 10. Точка K делит медиану BM треугольника BOC в отношении 3:1, считая от точки B. Что больше: BO или BK?
В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.
С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из данной точки на прямую, содержащую данный диаметр данной окружности, если точка не лежит ни на окружности, ни на данной прямой.
Постройте треугольник ABC, зная положение центров A1, B1 и C1 его вневписанных окружностей.
В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.
|
|
 |
Условие
В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.
Решение
Индукция по числу городских перекрёстков (из которых исходят более двух дорог).
База. Если в Никитовке имеются всего два перекрёстка A и B, то утверждение очевидно: по условию из A в B ведут не менее двух дорог; поэтому достаточно установить по одной из этих дорог движение от A к B, а по второй – от B к A, мы сможем проехать от каждого перекрёстка до любого, отличного от него.
Шаг индукции. Рассмотрим город Никитовку, имеющий n + 1 перекрёсток и два соседних из этих перекрёстков – перекрёстки A и B, соединённые улицей AB. Поскольку после введения на улице AB (при её ремонте) одностороннего движения – скажем, от A к B – проехать от B к A было возможно, то из B в A ведёт некоторая не включающая улицы AB "цепочка" улиц (эту "цепочку" можно считать не имеющей самопересечений). Таким образом, мы приходим к существованию в Никитовке "кольца" s – замкнутой сети улиц, ведущей из A в B, а затем (через ряд "промежуточных" перекрёстков) – снова в A.
Рассмотрим теперь новый город, план которого получается из плана Никитовки "склеиванием" всех перекрёстков нашего кольца s в один перекрёсток S, из которого исходят все улицы, реально "упирающиеся" в кольцо s. Число перекрёстков такого условного города меньше n + 1; поэтому по предположению индукции в нём можно ввести по всем улицам одностороннее движение с соблюдением требований задачи. Если мы затем оставим движение по всем не входящим в кольцо s улицам таким же, каким оно было в этом новом городе, а по кольцу s пустим движение в одном (безразлично каком!) направлении, то на всех улицах Никитовки будет установлено одностороннее движение – и притом с каждого перекрёстка можно будет проехать в любой другой.
